第一讲二次根式专题复习一、知识要点1、二次根式的概念：一般地，形如 a 的式子叫做二次根式.注意：这里被开方数 a 可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式.2 、二次根式 a 有意义：，二次根式无意义：.3、二次根式的性质：( 1) a . ( 2 ) a = .( 3 ) a2.4 、乘法法则： a. b ab (a 0,b 0), 即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释：( 1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 a 、 b 都必须是非负数；( 在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).( 2 ) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：a1 a2 a3 a n a1 a2 a3 a n (a1 0,a2 0, a n 0);若二次根式相乘的结果能写成a2的形式，则应化简，如16 4 .5、除法法则：a b a( a≥0，b>0)．即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.( 1 )在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a 、 b 的取值范围应特别注意， a 0， b 0，因为b在分母上，故 b 不能为0.( 2 ) 运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.6 、最简二次根式概念：①被开方数不含. ②被开方数中不含的二次根式．要点诠释：( 1 )被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ( 2 )根号下不含分母，分母中不含根号. 两者必须同时满足.分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化. 分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式( a)2a(a 0) 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。

一般常见的互为有理化因式有如下几种类型：① m a 与；② a b 与；③ a b 与；④ m a n b 与.7 、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的相同, 这些二次根式就称为同类二次根式.说明：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．228、互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a b)(a b) a2b2，同时它、典型类型1）二次根式有意义的条件1.写出使二次根式有意义的（4） x 2 2 x （5） x 2 2x 1 （6） 1 x （ 7） x 3 x x 1 （ 2 ）二次根式的性质 2. 已知 y ＝ x ＋ x ＋2，则 y x 的值为 ．练 1 若 y ＝ x 2 4 ＋ 4 x 2 ，则 x ＋ y 的值为 ． 3. 若 a － 4a ＋ b 3 ＝－ 4 ，则 a － 2b ＝ ．练 2 （1）已知 x 4 ＋ 2x y ＝0，则 x －y 的值为 ；（ 2）若｜ b － 8 ｜＋ a 2 ＝ 0，则 b a ＝ ．练 3 若 y 2＋4y ＋4＋ x y 1＝0，则 x y 的值为 ．5. 已知 a ＝2－ 3 ，求 a 1 的值．6. 已知 a 满足|2013﹣a|＋ a － 2014＝ a ，则 a ﹣20132 的值是( )A.2012B.2013C.2014D.20158．设 m >0， x 3 － x －1 ＝ m ，则代数式 x 3 ＋ x －1的值是 （用 m 表示）．x 的取值范围 (1) 3 x(2)1 2x 5(3) x 3 8 x4 . 计算： (1) ( 0.15)2(2) ( 2 7)23)( 32 6)2(4) 5 27. 若 0< a < 1，则 (a ＋1a )2－4﹣（ a － a 1）2＋ 4的值为（A. 2aB.C. ﹣ 2aD.﹣4（ 3）二次根式的乘除1．观察下列各式：（1）计算：① 4× 9＝ __________ ，4×9＝___________ ．② 16× 25＝③ 1211× 36＝_____________ ，1211×36＝______________ ．请你猜测一下：当a、b 均为非负数时，a× b与ab大小关系是：（2）请按找到的规律计算：① 5× 20请你猜测一下：当a、b 均为正数时，a与a大小关系是：______________bb3 ．计算 2 3 2 3 的结果为．4. ．将 3 xy 根号外的因式移到根号内，正确的是（）A. 9xyB. 9xyC. 3xy5. 把x －x1根号外的因数移到根号内，结果是（）A. xB. －xC. ﹣－x6. .将式子（a﹣1）1－1a中根号外的因式移入根号内的为（）7. ．若 a 0，化简a2b正确的是A. a bB. a b 总结：二次根式的乘除：系数与系数（4 ）最简二次根式及分母有理化 1.下列二次根式是最简二次根式的是① 1② 0.5 ③ 22 a⑩a21发散a2a3是最简二次根式吗？36 =A. 1－ aB. a－ 1C. －1－ aD. －a－ 12. 分母有理化:（1）1321(2) 112 = (3)1025，16× 25 ＝D. 3xyD. ﹣x）C. a bD. b 被开方数与被开方数最后化成⑦ ab ⑧ a2b④ 24牛刀小试1..下列式子中，属于最简二次根式的是( A. 9 B. 7 2 ．计算：( 1) 1223．把下列各式化成最简二次根式4. 把下列各式的分母有理化5)二次根式的乘除混合运算2)－ 2 27÷3 3；4) xy 3 ÷ ×2 2x )；)C. 20(3)33182)1) 322) 3)1454) 2 a 2b 32)1 233)2 62D.5)1.下列二次根式中与 2 是同类二次根式的是( )A. 12B.22.计算：(1) 2 3 2 3 2 3(2)( 24 12) 2 1866. )二次根式的加减D. 183) 80﹣75＋27﹣45＋48．( 4 ) 16x 64x( 7.) 二次根式的乘方1．计算:(1) ( 5 6)(3 5) 2 ) ( 10 7)( 10 7)2. 计算：( 1 ) ( 3 2)2 2 ) ( 7 3)23) ( 6 2)23. 阅读下面的解题过程：化简： 4 2 3 4 2 3解法一：原式＝ 3 2 3 1 3 2 3 1＝( 3) 2 2 3 1 ( 3)2 2 3 1＝( 3 1)2 ( 3 1)2＝ 3 1 3 1＝ 2 3解法二：设x ＝ 4 2 3 4 2 3 ，则x 0 ，则有x2＝ 4 2 3 2 4 2 3 4 2 3 4 2 3＝8 4＝12所以x ＝2 3 请你用上面的方法(任选一种) ，解答下列的问题：化简： 2 3 2 3拓展复合二次根式化简( 1 ) 5 2 6( 8.) 二次根式的大小比较【例1】比较下列各式的大小( 填“ ”“”或“ ”)① 3 2 2②5765③11④2002200175532001 2000常见方法：1. 根号外因式内移法，如比较7 6 和 6 7 的大小； 2 . 平方法，如比较137 和17 3 的大小；3. 分母有理化法，如比较1和1的大小；3 7 7 54 . 求差法，如比较 3 6 和 6 2 的大小；2 ) 8 2 156. 求商法 ，如比较 3 2 和 15 14 的大小。

(9) 二次根式的计算1．已知 25－ x 2－ 15－x 2＝2，则 25－x 2＋ 15－x 2的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 62．已知 15＋ x 2－ 19－x 2＝2，则 19－x 2＋2 15＋x 2＝ __________ ．23．化简求值：已知： x ＝ 32－ 1，求 x 2﹣x ＋1 的值．114．已知 x ＝ 3－ 2，y ＝3＋ 2，求下列式子的值 (1)x 2﹣ xy ＋ y 2．(2) y xxy7．计算：5. 倒数法 ，如本讲中的 ④ 5．已知 x ＝ 2＋1 2－1， 2－1 y ＝ 2－＋1，求 x －yx 2＋y 2的值．1 6.已知 a 14 0a，求 a 及a的值．1)1 n ＋ 1＋ nn 为正整数)的值． 2)1＋ 1 ＋ 1 ＋ ⋯＋ 1＋ 2 2＋ 3 3＋ 41 98＋ 991 99＋ 1008．在进行二次根式化简时， 我们有时会碰上如 53， 23， 32＋ 1一样的式子， 其实我们还可以将其进一步化简：9．已知 a 1－b2＋b 1－ a 2＝ 1，试确定 a 、 b 的关系．1 1 11 1 10．设 r ≥4， a ＝1－ 1 ，b ＝ 1 － 1，c ＝1 ，则下列各式一定成立的是（ ）r r ＋1rr ＋1r （ r ＋ r ＋1）A. a >b >cB. b > c >aC. c >a > bD. c >b >a三、课外作业1. 若实数 a 满足 |a ﹣8|＋ a －10＝a ，则 a ＝ _____ .a 2－ 16＋ b － 42. 已知 ＝ 0，则 a － b ＝ _____ .a －43. 已知 x ，y 为实数，且满足 1 x （y 2） 2 y 0，则 x ﹣ y ＝ ______________ .4. 已知 19－x 2＋ 17－ x 2＝ 2，则 x ＝ _______ .5.若化简 1 xx 2 8x 16 的结果为 2x 5，则 x 的取值范围是（）A. x 为任意实数B. 1 x 4C. x 1D. x 46. 无论 x 取任何实数，代数式 x 2－6x ＋m 都有意义，则 m 的取值范围是（ ） A. m ≥ 6 B. m ≥ 8 C.m ≥ 9 D. m ≥ 125× 3 2（ 3－ 1） 3 × 32化． 2 还可以用以下方法化简： 3＋12×3＝ 36， 32＋1＝（ 32＋（ 13）（－31－） 1）＝ 3－1，以上这种化简的方法叫做分母有理 2 3－1 （ 3）2－ 12（ 3＋1）（ 3－ 1）＝ 3－1，3＋13＋ 13＋11）用不同的方式化简 10＋ 72）化简：3＋1 1＋ ＋ ＋ ⋯ ＋3＋ 1 5＋ 37＋ 52n ＋1＋ 2n － 17. 已知：1<x<3，则1－2x＋x2－x2－8x＋16＝（）A.﹣3 8.化简二次根式 A. ﹣ a a 9. 若 b < 0，化简 A.10. B. 3－a 3，结果是（ ） B. ﹣ a －a － ab 3的结果是（ ） B. b － ab 2 3 的积为有理数的是 B. 2 3 － b ab 下列各数中，与 23 若 5＝ a ， 17 ＝b ，则 0.85的值用 a b b aA. 11. A.B. 2 10 12. 当 a >0 时，化简 －xa 3结果正确的是（ A. a ax B. a － ax － x y2 化为最简二次根式正确的是（ B. － y 13. 若 xy >0，则二次根式 A. y 14. 化简 － 1a 8的结果是3 － 2 A. 3 a －2 B.3 － 2a15. 已知 ab > 0，bc <0，化简： acA. b 2 abc 1 16．化简： 1的结果为（ 2－ 3A. 2＋ 3 11 17． 1＋ 1的值是（ 3－ 2 3＋ 2 A. 2 2 B. B. B. C. 2x ﹣ 5D. 5﹣ 2x C. a － aD. a aC. － b － abD.b ab）C. 2 3D. 3b 可以表示为（ ）C.ab b D.10a）C. ﹣ a axD. ﹣ a － a 、 ） axa － abc 3 的结果为 a b c 2 － abc 2﹣ 3 18．若 x ﹣ x 2－1＝M 1，则 M 等于（ ）A. x 2＋ x 2－1B. x ＋ x 2－ 1 19．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（C. ﹣ y C. －3a 2C. －b 2－ abcC. ﹣2＋ 3 C. 0C. x 2﹣ x 2－ 1 ） A. 12与 B. 18与 27 20．在下列各组二次根式中，不是可以合并的二次根式的一组是（C. 3与D.D.D.－ 3 －2aac﹣b 2 abcD. ﹣2﹣ 3D.2 3D.x ﹣ x 2－ 1D. 45与 54A. 3ab 2和 3ab 2cB. 12ab 3和 3abC. ab 和 a 3b 5D.21．化简：3－ 2﹣3 2－ 2 3－2 3－ 2＝ A. 0 B. 1 a － b 22．甲、乙两位同学对代数式 （a > 0， a ＋ b a － b （a － b ）（ a － b ） a － b （ a ＋ b ）（ a － b ）甲： ＝ ＝ a － b ； 乙： ＝ ＝ a － b ．关于这两种变 a ＋ b （ a ＋ b ）（ a － b ） a ＋ b a ＋ b 形过程的说法正确的是（ A. 甲、乙都正确 C. 只有甲正确a ＋ 1＋ a23．化简： C. 2 D. 3b >0），分别作了如下变形： B. D. 甲、乙都不正确 只有乙正确a ＋ 1－ a a ＋ 1－ aa ＋1＋ a A. 2a ＋ 2B. 4a ＋ 2C. 4 a 2＋ aD. ﹣ 4 a 2＋a4) 5＋20﹣45；5)3 8＋ 2 18﹣50；25．计算：1）（1）24＋12－6．3)3 2x﹣ 5 8x＋7 18x．5) 27x3＋6x>0）．11。