《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0；
2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有
()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成
()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a
=2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2
的不同： (
2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义．
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
（1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即：
x m x m 2-=(m ＜0)．
（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：
6、二次根式的比较：
（1）若，则有；（2）若，则有．
说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．
<
【典型例题】
1、概念与性质
2、二次根式的化简与计算
例1. 化简a a 1-的结果是（ ）
A ．a -
B ．a C
．-a - D ．-a
分析：本题是同学们在做题时常感困惑,容易糊涂的问题.很多同学觉得选项B 形式最简单,
所以选B;还有的同学觉得应有一个负号和原式对应,所以选A 或D;这些都是错误的.本
题对概念的要求是较高的,题中隐含着0a <这个条件,因此原式的结果应该是负值,并
且被开方数必须为非负值.
解：C. 理由如下:
{
∵二次根式有意义的条件是1
0a -≥,即0a <，
∴原式=
211
()()()a a a
a a ---=--⋅-=--.故选C.
例2. 把（a －b ）－1
a －
b 化成最简二次根式
解：
—
例3、先化简，再求值：
11()b a b b a a b ++++，其中a=51+，b=51
-．
3、在实数范围内分解因式
例. 在实数范围内分解因式。

（1）；
（2）
!
4、比较数值
（1）、根式变形法
当0,0a b >>时，①如果a b >a b >a b <a b <。

例1、比较35与53的大小。

（2）、平方法
当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。

-
例2、比较
（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3
（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

\
例4、。

（5）、倒数法
例5的大小。

（6）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例633的大小。

}
3＜63＞633
（7）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔<
例7
的大小。

（8）、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：
， ①1a
a b b >⇔>； ②1a
a b b <⇔<
例8、比较52+
5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程：
， 验证：；
验证:.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形结果，并进行验证；
]
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验
证过程.
例2. 已知
，则a _________ 发展：已知
，则a ______。

例3、化简下列各式：
（1423+ （2526-
例4、已知a>b>0，ab a b a b
+的值为（ ）A ．22 B ．2 C 2D ．
12。