一、第七章 万有引力与宇宙航行易错题培优（难）1．2020年也是我国首颗人造卫星“东方红一号”成功发射50周年。

1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星“东方红一号”，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km ，远地点高度约为2060km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km 的地球同步轨道上。

设东方红一号在近地点的加速度为1a ，线速度1v ，东方红二号的加速度为2a ，线速度2v ，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为3a ，线速度3v ，则下列大小关系正确的是（ ） A ．213a a a >> B ．123a a a >>C ．123v v v >>D ．321v v v >>【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】AB ．对于两颗卫星公转，根据牛顿第二定律有2MmGma r = 解得加速度为2GMa r=，而东方红二号的轨道半径更大，则12a a >；东方红二号卫星为地球同步卫星，它和赤道上随地球自转的物体具有相同的角速度，由匀速圆周运动的规律 2a r ω=且东方红二号卫星半径大，可得23a a >，综合可得123a a a >>，故A 错误，B 正确；CD ．假设东方红一号卫星过近地点做匀速圆周运动的线速度为1v '，需要点火加速变为椭圆轨道，则11v v '>；根据万有引力提供向心力有 22Mm v G m r r=得卫星的线速度v =可知，东方红二号的轨道半径大，则12v v '>；东方红二号卫星为地球同步卫星，它和赤道上随地球自转的物体具有相同的角速度，由匀速圆周运动的规律有v r ω=且东方红二号卫星半径大，可得23v v >，综上可得1123v v v v '>>>，故C 正确，D 错误。

故选BC 。

2．在地球上观测，太阳与地内行星（金星、水星）可视为质点，它们与眼睛连线的夹角有最大值时叫大距。

地内行星在太阳东边时为东大距，在太阳西边时为西大距，如图所示。

已知水星到太阳的平均距离约为0.4天文单位（1天文单位约为太阳与地球间的平均距离），金星到太阳的平均距离约为0.7天文单位，地内行星与地球可认为在同一平面内的圆轨道上运动，地球的自转方向与公转方向相同，取0.70.8≈，0.40.6≈，则下列说法中正确的是（ ）A ．水星的公转周期为0.4年B ．水星的线速度大约为金星线速度的1.3倍C ．水星两次东大距的间隔时间大约619年 D ．金星两次东大距的间隔时间比水星短 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】A ．行星绕太阳公转时，由万有引力提供向心力，则得2224Mm G m r r Tπ= 可得行星公转周期为32r T GM= 式中M 是太阳的质量，r 是行星的公转轨道半径。

则水星与地球公转周期之比333 040.40.4T r T r ===水水地地．所以水星的公转周期为0.40.4T =水故A 错误B ．由万有引力提供向心力得22Mm v G m r r= 得GMv r=则水星的线速度与金星线速度之比0.7 1.30.4v r v r ==≈水金水金 则B 正确。

C ．设水星两次东大距的间隔时间为t 。

则222t t T T πππ=-水地得10.40.461910.40.4T T t T T ⨯==≈--地水地水年年则C 正确；D ．因金星的周期长，则金星两次东大距的间隔时间比水星长，则D 错误。

故选BC 。

3．如图为某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动的示意图，若A 星的轨道半径大于B 星的轨道半径，双星的总质量M ，双星间的距离为L ，其运动周期为T ，则（ ）A ．A 的质量一定大于B 的质量 B ．A 的加速度一定大于B 的加速度C ．L 一定时，M 越小，T 越大D ．L 一定时，A 的质量减小Δm 而B 的质量增加Δm ，它们的向心力减小 【答案】BCD 【解析】 【分析】 【详解】A ．双星系统中两颗恒星间距不变，是同轴转动，角速度相等，双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故有22A A B B m r m r ωω＝因为A B r r >，所以A B m m <，选项A 错误；B ．根据2a r ω=，因为A B r r >，所以A B a a >，选项B 正确；C ．根据牛顿第二定律，有222()A B A Am m Gm r L Tπ= 222()A B B Bm m Gm r L Tπ= 其中A B r r L +=联立解得332 2 ()A B L L T G m m GMππ==+L 一定，M 越小，T 越大，选项C 正确； D ．双星的向心力由它们之间的万有引力提供，有2=A Bm m F GL向 A 的质量m A 小于B 的质量m B ，L 一定时，A 的质量减小Δm 而B 的质量增加Δm ，根据数学知识可知，它们的质量乘积减小，所以它们的向心力减小，选项D 正确。

故选BCD 。

4．如图所示，宇航员完成了对月球表面的科学考察任务后，乘坐返回舱返回围绕月球做圆周运动的轨道舱。

为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。

已知返回舱与人的总质量为m ，月球质量为M ，月球的半径为R ，月球表面的重力加速度为g ，轨道舱到月球中心的距离为r ，不计月球自转的影响。

卫星绕月过程中具有的机械能由引力势能和动能组成。

已知当它们相距无穷远时引力势能为零，它们距离为r 时，引力势能为p GMmE r=-，则（ ）A ．返回舱返回时，在月球表面的最大发射速度为v gR =B ．返回舱在返回过程中克服引力做的功是(1)R W mgR r=-C ．返回舱与轨道舱对接时应具有的动能为22k mgR E r=D ．宇航员乘坐的返回舱至少需要获得(1)RE mgR r=-能量才能返回轨道舱【答案】BC 【解析】【详解】A ．返回舱在月球表面飞行时，重力充当向心力2v mg m R＝解得v =已知轨道舱离月球表面具有一定的高度，故返回舱要想返回轨道舱，在月球表面的发射速，故A 错误；B ．返回舱在月球表面时，具有的引力势能为GMmR-，在轨道舱位置具有的引力势能为GMmr-，根据功能关系可知，引力做功引起引力势能的变化，结合黄金代换式可知 002GMm m g R= GM =gR 2返回舱在返回过程中克服引力做的功是(1)RW mgR r =-故B 正确；C ．返回舱与轨道舱对接时，具有相同的速度，根据万有引力提供向心力可知22 GMm v m r r＝ 解得动能222212k GMm mgR E mv r r==＝ 故C 正确；D ．返回舱返回轨道舱，根据功能关系可知，发动机做功，增加了引力势能和动能22(1)22R mgR mgR mgR mgR r r r-+=-即宇航员乘坐的返回舱至少需要获得22mgR mgR r-的能量才能返回轨道舱，故D 错误。

故选BC 。

5．中国北斗卫星导航系统（BDS ）是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统（GPS ）、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统（GLONASS ）之后第三个成熟的卫星导航系统。

2020年北斗卫星导航系统已形成全球覆盖能力。

如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a 、b 、c 三颗卫星均做匀速圆周运动，a 是地球同步卫星，则A ．卫星a 的运行速度大于卫星c 的运行速度B ．卫星c 的加速度大于卫星b 的加速度C ．卫星c 的运行速度小于第一宇宙速度D ．卫星c 的周期大于24h 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】A ．由万有引力提供向心力有22Mm v G m r r= 则得GMv r=则半径大的运行速度小，选项A 错误； B ．由万有引力提供向心力：2MmGma r = 则2GMa r =则半径小的加速度大，选项B 正确；C ．第一宇宙速度是人造地球卫星飞船环绕地球做匀速圆周运动时的最大速度，所以卫星c 的运行速度小于第一宇宙速度，选项C 正确；D ．由万有引力提供向心力2224Mm G mr r Tπ= 可得32r T GMπ=则半径大的周期大，即a 的周期(24h)大于c 的周期，选项D 错误。

故选BC 。

6．如图所示，曲线Ⅰ是一颗绕地球做圆周运动卫星轨道的示意图，其半径为R ；曲线Ⅱ是一颗绕地球椭圆运动卫星轨道的示意图，O 点为地球球心，AB 为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，万有引力常量为G ，地球质量为M ，下列说法正确的是A ．椭圆轨道的半长轴长度为RB ．卫星在Ⅰ轨道的速率为v 0，卫星在Ⅱ轨道B 点的速率为v B ， 则v 0＞v BC ．卫星在Ⅰ轨道的加速度大小为a 0，卫星在Ⅱ轨道A 点加速度大小为a A ，则a 0＜a AD ．若OA =0.5R ，则卫星在B 点的速率v B 23GMR【答案】ABC 【解析】 【分析】 【详解】由开普勒第三定律可得：23 T k a ＝，圆轨道可看成长半轴、短半轴都为R 的椭圆，故a=R ，即椭圆轨道的长轴长度为2R ，故A 正确；根据万有引力做向心力可得：22GMm mv r r＝，故v ＝GMrOB 为半径做圆周运动的速度为v'，那么，v'＜v 0；又有卫星Ⅱ在B 点做向心运动，故万有引力大于向心力，所以，v B ＜v'＜v 0，故B 正确；卫星运动过程只受万有引力作用，故有：2GMmma r ＝，所以加速度2 GMa r；又有OA ＜R ，所以，a 0＜a A ，故C 正确；若OA=0.5R ，则OB=1.5R ，那么，v ′＝23GM R ，所以，v B ＜2 3GMRD 错误； 点睛：万有引力的应用问题一般由重力加速度求得中心天体质量，或由中心天体质量、轨道半径、线速度、角速度、周期中两个已知量，根据万有引力做向心力求得其他物理量．7．关于人造卫星和宇宙飞船，下列说法正确的是（ ）A ．一艘绕地球运转的宇宙飞船，宇航员从舱内慢慢走出，并离开飞船，飞船因质量减小，所受到的万有引力减小，故飞行速度减小B ．两颗人造卫星，只要它们在圆形轨道的运行速度相等，不管它们的质量、形状差别有多大，它们的运行速度相等，周期也相等C ．原来在同一轨道上沿同一方向运转的人造卫星一前一后，若要后一个卫星追上前一个卫星并发生碰撞，只要将后面一个卫星速率增大一些即可D ．关于航天飞机与空间站对接问题，先让航天飞机进入较低的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接 【答案】BD 【解析】 【分析】 【详解】人造地球卫星做匀速圆周运动，根据万有引力等于向心力有22222()Mm mv πG m ωr m r ma r r T==== 解得v =2M a Gr =ω=T =A ．根据v =，可知速度与飞船的质量无关，故当宇航员从舱内慢慢走出时，飞船的速度不变，故A 错误；B ．根据v =T =可知不管它们的质量、形状差别有多大，它们的运行速度相等，周期也相等，故B 正确； C ．当后面的卫星加速时，提供的向心力不满足所需要的向心力，故卫星要做离心运动，不可能相撞，故C 错误；D ．先让飞船进入较低的轨道，若让飞船加速，所需要的向心力变大，万有引力不变，所以飞船做离心运动，轨道半径变大，即可实现对接，故D 正确； 故选BD 。