专题：切线长定理的应用
重难点易错点解析 题一：
题面：⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A 、B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P =60°，求∠ACB 的度数.
金题精讲 题一：
题面：如图1，△ABC 中，CA =CB ，点O 在高CH 上，OD ⊥CA 于点D ，OE ⊥CB 于点E ，以O 为圆心，OD 为半径作⊙O ．
（1）求证：⊙O 与CB 相切于点E ；
（2）如图2，若⊙O 过点H ，且AC =5，AB =6，连结EH ，求△BHE 的面积．
图1 图2
满分冲刺 题一：
题面：如图，直角梯形ABCD 中，以AD 为直径的半圆与BC 相切于E ，BO 交半圆于F ，DF 的延
长线交AB 于点P ，连DE ．以下结论：①DE ∥OF ；②AB +CD =BC ；③PB =PF ；④AD 2
=4AB •DC ．其中正确的是（ ）
A ．①②③④
B ．只有①②
C ．只有①②④
D ．只有③④
题二：
题面：如图①所示，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE 延长线上一点，且CE＝CB.
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图②所示)．若AB＝25，AD＝2，求线段BC和EG的长．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：60或120度
解析：连接OA、OB，
∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=60°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，
当点C在优弧AC上时，如图
又∵∠ACB和∠AOB分别是AC所对的圆周角和圆心角，
∴∠ACB=1
2
∠AOB=60°．
当点C在劣弧AC上时，∠ACB=180°-1
2
∠AOB=120°．
金题精讲
题一：
答案：（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE=OD
∴⊙O与CB相切于E点．
（2）解：∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH=1
2
AB=
1
6
2
⨯=3，∴CH
．
∵点O在高CH上，⊙O过点H，∴⊙O与AB相切于H点．
由（1）知⊙O与CB相切于E点，∴BE=BH=3.
如图，过E作EF⊥AB于点F，则EF∥CH，∴△BEF∽△BCH．
∴BE EF
BC CH
=，即：
3
54
EF
=，∴EF=
12
5
∴
111218
3
2255 BHE
s BH EF
∆
=⨯=⨯⨯=
解析：（1）由等腰三角形的性质易得CH是∠ACB的平分线，再根据角平分线的性质定理得OE=OD，即圆心O到直线CB的距离等于半径，所以结论得证；（2）先由等腰三角形的性质，得BC=AC=5，BH=AH=3，在Rt△BCH中，由勾股定理得CH=4；再由切线长定理得BE=BH=3；然后，过点E作EF⊥AB于点F，则易得△BEF∽△BCH，根据相似三角形的对应边成比例得EH的
长，这样得△BHE的面积=1
2
BH EF．
本题系几何大型综合题．以等腰三角形和圆为背景，综合考查圆中的三大定理，即圆的切线
的判定定理与性质定理、切线长定理，又对相似形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义进行考查，需要综合运用所学知识解答这类问题；另外合理的作辅助线也是解决问题的关键所在．
满分冲刺
题一：
答案：C
解析：∵BA，BE是圆的切线．
∴AB=BE，BO是△ABE顶角的平分线．
∴OB⊥AE
∵AD是圆的直径．
∴DE⊥AE
∴DE∥OF
故①正确；
∵CD=CE，AB=BE
∴AB+CD=BC
故②正确；
∵OD=OF
∴∠ODF=∠OFD=∠BFP
若PB=PF，则有∠PBF=∠BFP=∠ODF
而△ADP与△ABO不一定相似，故PB=PF不一定成了．
故③不正确；
连接OC．可以证明△OAB∽△CDO
∴OA•OD=AB•CD
∴AD2=4AB•DC
故④正确．
故正确的是：①②④．
故选C．
题二：
答案：（1）连接OE，OC
∵CB ＝CE ，OB ＝OE ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△OEC ． ∴∠OBC ＝∠OEC ．
又∵DE 与⊙O 相切于点E ， ∴∠OEC ＝90°． ∴∠OBC ＝90°． ∴BC 为⊙O 的切线
（2）过点D 作DF ⊥BC 于点F ，
∵AD ，DC ，BG 分别切⊙O 于点A ，E ，B ， ∴DA ＝DE ，CE ＝CB ．
设BC 为x ，则CF ＝x －2，DC ＝x ＋2．
在Rt △DFC 中，(x ＋2)2
－(x －2) 2
＝) 2
，解得：x ＝52
． ∵AD ∥BG ， ∴∠DAE ＝∠EGC ． ∵DA ＝DE ， ∴∠DAE ＝∠AED ． ∵∠AED ＝∠CEG ， ∴∠EGC ＝∠CEG ． ∴CG ＝CE ＝CB ＝52
． ∴BG ＝5．
∴AG ＝． 解法一：连接BE ，ABG S ∆＝12AB •BG ＝1
2
AG •BE ，
∴． ∴BE ＝
10
3
．
在Rt △BEG 中，EG
解法二：∵∠DAE ＝∠EGC ，∠AED ＝∠CEG ， ∴△ADE ∽△GCE ．
∴
AD CG ＝AE EG
，2
2.5EG ．
解析：（1）欲证明BC 为⊙O 的切线，依据切线的判定定理，需证明OB ⊥BC ，为此要连接OC ，OE ，设法证明△OBC ≌△OEC ，得∠OBC ＝∠OEC ＝90°．（2）需顺着（1）问结论，灵活运用切线长定理，勾股定理，相似三角形知识解答，关键有二：一连接BE ，发现EC ＝BC ＝CG ；二通过过点D 作BG 边上的高构造直角三角形，应用勾股定理求出CE 的长．。