北京建筑大学力学系
§5-7 提高梁弯曲强度的主要措施
h C b z
a
C a
z
C d
z
Wz矩 Wz方 Wz方 Wz圆
bh 2 h bh h 6 3 1 矩形截面比方形截面好 2 a aa a 6 a 2 a3 a 4 d 2 4a 2 6 6 1.18 2 3 3d 3 d d d 3d 8 4 32 方形截面比圆形截面好 北京建筑大学力学系
根据强度条件可进行下述工程计算：
⑴强度校核；
max [ ]
M max [ ]
⑵设计截面尺寸； Wz
⑶确定容许荷载。 M max Wz [ ] 北京建筑大学力学系
§5-3 弯曲正应力强度条件
【例】一矩形截面的简支木梁，梁上作用有均布载荷，已知： l=4m，b=140mm， h=210mm，q=3kN/m，弯曲时木材的许用 正应力[σ]=10MPa。试校核该梁的强度。
b)、合理改变支座位置
q
A B
q
A B
l
M图 ⊕
ql2/8
l/6 ql2/72
2l/3
l/6
ql2/72 M图
⊕ ql2/24
通过改善梁的受力情况，以降低梁的最大弯矩，从而提高梁 的正应力强度。 北京建筑大学力学系
§5-7 提高梁弯曲强度的主要措施
二、梁合理的截面形状
Iz Wz ymax
梁的抗弯截面模量Wz与截面尺寸和形状有关，截面面积 相同的情况下， Wz越大截面形状越合理。 下面对矩形、方形、圆形截面加以比较。
A
M y z dA 0
A
y
M z (F ) M M z A y dA M
E
y


Ey
A

dA
E
A
ydA
E

Sz 0
S z ydA 0
A
0
横截面对中性轴的静矩
中性轴z必通过横截面形心 北京建筑大学力学系
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力
y2
FB 24kN
1.8kN m
FA 9kN
M图
y A y A (b c 2 )bc b 2 (2a b)b yC A A bc (2a b)b
y1 72mm y2 38mm
38mm
2.7kN m
北京建筑大学力学系
§5-3 弯曲正应力强度条件
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力
M y Iz
由该式可知横截面上各点正应 力大小与各点到中性轴的距离成正 比，中性轴上各点正应力为零，离 中性轴最远点正应力最大。
y z y
z x dA
上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于 横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再 z 成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可 C z C 按平面假设分析，上面公式仍可使用。
q
A
l
B
h b
解：画出梁的弯矩图
M max ql 2 1 2 103 N/m 42 m 2 8 8 =4 103 N m
M图
＋
1 2 ql 8
bh 2 1 0.14m 0.212 m 2 =0.103 10-2 m3 Wz 6 6
M max 4 103 N m max = -3 3 =3.88MPa < Wz 0.103 10 m 北京建筑大学力学系 满足强度条件
C
z
C
z
C
z
b
d
d D
bh3 Iz 12 bh 2 Wz 6
64 3 d Wz 32
Iz
d4
d4 Wz (1 4 ) 32 D
北京建筑大学力学系
D3
§5-3 弯曲正应力强度条件
梁要安全工作，必须满足正应力强度条件 对于等截面梁 正应力强度条件：
max
M max Wz
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§5-1 纯弯曲及其变形
a a
纯弯曲(Pure Bending):
某段梁的内力只有弯矩没有剪
力时，该段梁的变形称为纯弯曲。
A
B
FS x
x M
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§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力
一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力
变形几何关系
物理关系 静力学关系
北京建筑大学力学系
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力
①梁的横截面在梁弯曲变形后仍保持为
平面，且仍与变形后的梁轴线垂直。 ②梁的纵向纤维为单向应力状态，互无
—横截面上只有正应力 挤压。
北京建筑大学力学系
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力
纵向对称面 中性层 中性轴
中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受 拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。 北京建筑大学力学系
C
F
z
K
y
h 2 h 2
A
l
a
B
b
截面对中性轴的惯性矩
bh3 0.583 10-4 m4 Iz 12
代入应力公式
M C y 3 103 （-0.06) K 3.09MPa（拉应力） 4 Iz 0.583 10 北京建筑大学力学系
§5-3 弯曲正应力强度条件 梁某截面上的最大正应力 M max ymax Iz
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力
2.变形几何关系
取一微段dx
O1O2 dx d
b ' b ' ( y)d l b ' b ' dx
( y)d d yd
y m n
o
d m'
O1
n'
O2
o1
b m
o2
dx b n
b' m'
变形后
b' n'
§5-3 弯曲正应力强度条件
【例】针对上题，试求梁能承受的最大载荷qmax。
q
A
l
B
h b
解：由强度条件
M max Wz
M max ql 2 Wz 8
M图
＋
1 2 ql 8
q
8 Wz l2
8 10 106 Pa 0.103 10-2 m3 = 42 m 2
【例】一T形截面的外伸梁如图所示，已知：l=0.6m，a=40mm ， b=30mm，c=80mm，F1=24kN， F2=9kN，材料的许用拉应力 [σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90MPa。试校核梁的强度。
F1
A
F2
B
l 2
b
C
l 2
D
l 3
c
z
b
y1
解：画出梁的弯矩图
FA
FB
C
a a
材料力学
第五章 弯曲强度
北京建筑大学力学系
§5-1 纯弯曲及其变形
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
§5-3 横力弯曲时梁横截面上的正应力
弯曲正应力强度条件
§5-7 提高梁弯曲强度的主要措施
北京建筑大学力学系
§5-1 纯弯曲及其变形
弯曲构件横截面上的（内力）应力
剪力FS
剪应力 正应力
内力
弯矩M
横截面对y轴和z轴的惯性积
M y z dA
A
E

A
yzdA
E

E
I yz 0
y轴和z轴是横截面的主形心轴
M z y dA
A
E

A
y dA
2

Iz M
M EI z
1
横截面对中性轴的惯性矩
其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力， 北京建筑大学力学系 称为抗弯刚度。
max
max
北京建筑大学力学系
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力
【例】 长为的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F ，已知
h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN。试求C截面
上K点的正应力。 解：C截面的弯矩
M C Fa 3 10 N m
3
北京建筑大学力学系
§5-3 弯曲正应力强度条件
综上

t ,max
t ,max =22.6MPa t
B

c ,max
cC,max =33.9MPa c
满足强度要求
北京建筑大学力学系
§5-7 提高梁弯曲强度的主要措施
梁的设计主要依据正应力强度条件，即
M max max Wz
FB
FA
Wz
M max
FA 17kN FB 19kN
M图
34kN m

3.8 103 N m = 170 106 Pa
=0.223 10-3 m3 =223cm3
、
38kN m
Wz
3 237cm 20 a钢
选择20a工字钢 北京建筑大学力学系
§5-3 弯曲正应力强度条件
M ( x)

北京建筑大学力学系
§5-7 提高梁弯曲强度的主要措施
变截面梁
F
A
q
B
悬臂凉台
吊车梁
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§5-4 矩形截面梁的切应力
x
dx
切应力分布和方向假设： ①切应力与剪力方向平行；
y M ( x)