法一：连接 OA
A
B
O
法二：延长 CO交⊙O于D，连
接DA
D
A
B
O
C
C
『要点』通过辅助线的添加，建立同弧所对的
圆周角及圆心角或直径所对的圆周角，实现所
求对象的转换。
2.如图2，在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角 ∠ACB=30°，则⊙O的直径等于__3_._6__cm。
连接AO，并延长交⊙O于D， A 连接BD，
∵OC⊥AB，
O
∴在△AOC中，AO2-OC2=AC2，
∴S圆环面积=π（AO2-OC2）=πAC2，A C B
『要点』遇到相切问题经常需要作出过切点 的半径，垂径定理往往需要建立的直角三角 形，并利用勾股定理求解三边。
5.如图，过圆外一点O作⊙O′的两条切线OA、
OB，A、B是切点，且OO' 圆O半径长两倍，则 ∠AOB=__6_0__°_
在同圆或等圆中，如果两
个圆心角，两条 弧，两条 弦， 中有一组量 相等 ，那么它们 B′ 所对应的其余各组量都分 别 相等 .
A′ B
·
O
A
圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，都等于 它所对弧的圆心角 度数的一半 。
直径所对的圆周角是 直角 ，90°所对 的弦是 直径 。
C
·
O
C 2
C1
C
3
∵l是⊙O的切线， 切点为A，OA是⊙O的直径， ∴OA⊥l
·O
A
l
圆的切线的判定
·O
经过 半径 的外端，并且 垂直于A这条 l 半径 的直线是圆的切线。
∵OA是⊙O的半径，l⊥OA于A， ∴l是⊙O的切线。
切线长定理
B
从圆外一点所画的圆的
。
O
P
两条切线的长相等。
A
∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴PA=PB
B
AB? AB
∴∠D= ∠C=30°，
O C
∵AD是直径，∴∠B? 3.6
『要点』当所求对象非显性存在时，可先将
其作出，并寻找与之相关的已知条件。
3.已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD 分别交AB于点E、F， 且AE=BF，请你找出线
段OE与OF的数量关系，并给予证明。
个扇形的半径为 l ，扇形的弧长为 2? r
（3）圆锥的侧面积为 ? lr （4）圆锥的全面积为 ?lr ? ? r2
[注意]圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆锥的母 线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长。
三、精选精练
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知 ∠ACO=30°，∠B=__6_0_°___。
A
O
O'
B
『要点』过圆外一点可作两条与圆相切的直 线，该点与两切点的距离相等，且OO′平分 ∠AOB
6.如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠A=30°，延长
斜边AB到D，使BD等于⊙O半径，求证：DC是
⊙O切线。
证明：连 OC，如图，
C
∵∠ A=30°， OA=OC ，
∴∠COB= 60°，
A
∵△COB为等边三角形，∴ BC=BO， O
圆的内接多边形
圆的内接正多边形
A D
圆的内接四边 形对角互补
B
C
弧长与扇形面积的计算
l ? n? R
n°的圆心角所对的弧长计算公式为 180 。
S ? n?R2
扇形
n°的圆心角所在的扇形面积为
360 。
1°
O · n°
圆锥的侧面积 （1）圆锥的侧面展开图是一个 扇形 （2）如果圆锥母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这
谢谢
谢谢
谢谢
谢谢
A
·B
O
A B
与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
① 点P在圆外 d >
② 点P在圆上 ③ 点P在圆内
d= d<
2.直线与圆的位置关系
① 直线和⊙O相交 d
② 直线和⊙O相切 d ③ 直线和⊙O相离 d
r，
r， r。
< r，
= r，
> r。
P
·P P
O
r
A
·r
O
l l l
圆的切线的性质
圆的切线 垂直于 过切点的半径；
O
O
E A
C
F B
D
E A
C
F B
D
『要点』图形呈轴对称性时，可利用垂径定 理求解，也可利用半径和弦组成的等腰三角 形的对称性求解。
4.某宾馆大堂要铺设圆环形地毯，如图，工人 王师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长 就计算出了圆环的面积，王师傅是怎样算的？ 请你用圆的相关知识加以解释。
连接圆心O与切点C，连接AO ，
对称图形——圆 复习 课件
一、知识结构
基本概念 与性质
定义 对称性
确定圆的条件 垂径定理 圆心角、弧、弦的关系
圆
圆周角与圆心角的关系
与圆有关的 位置关系
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关 系
切线长 定理
与圆有关的 计算
圆的内接四边形 内接正多边 形
弧长 扇形面积
圆锥侧面积
二、知识点回顾
圆的对称性 圆是 轴 对称图形，任何一条直径所在的 直线都是它的 对称轴 ；圆又是 中心 对称 图形， 圆心 是它的对称中心。
BD
而 BD等于⊙ O半径，
∴BC=BO=BD ，
∴△OCD为直角三角形，即∠ OCD=90°，
所以 DC是⊙ O切线。
『要点』求证圆的切线问题除了需要作出过 切点的半径，还要注意观察图形的特征，例 如包涵的特殊三角形的性质。
四、课堂小结
1.本章知识结构和重点内容； 2.观察——猜想——关联； 3.转化的数学思想在解决圆的问题时的 相关应用。
O
垂径定理 证明线段或弧相等的重要定理
垂直于弦的直径平分 这条弦 ，并且平
分 弦所对的两条弧 ；
平分弦（不是直径）的 直径 垂直于弦，
并且平分 弦所对的两条弧
C
∵CD是直径， CD⊥AB，
∴AE=BE，
A⌒C =B⌒C， A⌒D=B⌒D
·O
E
A
B
D
圆心角、弧、弦的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧 相等，所对的 弦 相等。