热传导模型 考虑一个长度为L的均匀杆上温度的传播过程， 为简单起见我们对这个杆作如下假设： 1．这个杆足够的细小，以至在任何时刻都可 以把断面上的所有点的温度看作是相同的．
例
2．杆是粗细均匀的，这意味着在任何位置杆的 截面面积S都是相同的． 3．这个杆的侧面是绝缘的，不可能与外界发生 热交换．
4．在热量传播的过程中，杆的内部也不可能自 己产生热源．
我们以杆的左端点为原点建立坐标轴x，根据假设1可 以用u(x, t )来表示断面x处在时刻t的温度．
如果杆内温度的分布不是均匀的，那么它里面就要产 生热量的流动，由温度较高的地方流向温度较低的地方, 我们组建一个数学模型来描述这个传播过程． 为此我们首先给出两个热学上的规律．
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二、宏观模型
考察时段 [ t, t +⊿t ] 膜两侧容器中该物质质 量的变化. 在容器的A侧, 该时段内物质质量的增加为 vaca ( t +⊿t ) - vaca ( t ); 另一方面从B侧渗透至A侧的该物质质量为 sk (cb-ca)⊿t由质量守恒有 vaca ( t +⊿t ) - vaca (t ) = sk (cb-ca )⊿t, 两边除以⊿t, 令⊿t →0, 得

a b

由质量守恒有 vaca (t ) + vbcb (t ) = vaaa + vbab 联立 (2-3), (2-4)式可得：
2-4
a va b vb va ( b a ) 1 1 cb exp sk t v v v a vb v a vb a b
Q(k , a , b ) [cb (t i ) ci ]2
,
n
i 1
的最小值.
令
x
a v a b vb
v a vb
va ( b a ) ,y v a vb
则参数估计问题可转化为求函数
1 1 t i c i ] 2 Q(k , x, y ) [ x y exp sk v vb i 1 a
假设3. 群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。
令B(t, Δt, N), D(t, Δt, N) 分别表示生育 数和死亡数, 则有
N (t t ) N (t ) B(t , t , N ) D(t , t , N )
假设4. 从大群体的平均效应考虑生育和死 亡对人口的影响（生育率和死亡率） 生育率 b(t, Δt,N)=B(t, Δt N)/N 死亡率 d(t, Δt,N)=D(t Δt,N)/N 则有 N (t t ) N (t ) R(t , t , N ) N
例 带年龄结构人口的动态
前面给出了两个与人口动态有关的模型．在模型中时 间和年龄都是以连续变量的形式出现的．应该说这与实际 情况是一致的. 但是在应用上人们普遍把它们处理成为离散的量． 如在统计资料上—般都是把年龄按周岁分成年龄组， 而作为结论人们通常关心人口群体逐年的动态．逐月逐天 人口的动态人们并不一定十分关心．
测定薄膜被分子穿透的能力
某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透 它从高浓度的溶液向低浓度溶液扩散的功能, 在试制时需测定薄膜被这种分子穿透的能力. 测定方法如下： 用面积为s的薄膜将容器分成A, B两部分, 体积分别为va和vb , 在两部分中分别注满该 物质的两种不同浓度的溶液. 此时该物质分子就会从高浓度溶液穿透薄 膜向低浓度溶液中扩散.
a va b vb va ( b a ) 1 1 cb exp sk t v v v a vb v a vb a b
至此, 问题归结为利用cb在时刻ti的测量数ci(i =1, 2, … , n )来估计k, aa , ab, 根据使cb (ti )与ci的 误差平方和最小的原则来求k, aa , ab的估计值. 对应的数学模型为求函数
黔南民族师范学院
数学系
余吉东
平衡原理和数学模型 —. 微观模型 二、宏观模型
平衡原理和数学模型
“平衡”是我们在现实生活中随处可见的一个象． 如：物理中的能量守恒和动量守恒定律都是在描述 物理中的能量和动量平衡的现象． 再如考虑一段时间内(或一定的范围内)物质的变化， 我们会发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少 量之差也处于平衡的状态(我们称这种平衡规律为物质平 衡原理)． 我们统称这些描述平衡现象的规律为平衡原理． 由于这种平衡关系比较容易由数学表达式给出，注意 发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是数学模型组建过程 中的一个关键问题.
—. 微观模型
当组建实际问题的数学模型时，许多问题中 从时间或空间上对微小部分进行考察比较方便． 这是因为微小部分的变化比较简单，在多数
情况下，作为对象的物体的微小部分可以视 为各项同性和均匀的.这一类模型基本上是以
微分方程的形式给出．
它的组建过程在自然科学的书籍特别是在物 理学的书籍中经常可以见到．这里我们将通过若 干例题来介绍模型组建的基本方法．
d [ p(t )V (t )] pI (t )rI (t ) p(t )rO (t ) dt dV rI (t ) rO (t ) dt dp (t ) V (t ) r (t )[ pI (t ) p (t )] dt
V (t ) [rI ( ) rO ( )]d
求表达式（符号运算）
S=dsolve(‘Dx=(3-6*x)/(2000+2*t)’);
求数值解
建立M文件 fun . M, function y=fun(t,x) y=(3-6*x)/(2000+2*t); t0=0; tf=200; x0=2; [t,x]=ode23(‘fun’,t0,tf,x0); plot(t,x);
dN r (t , N ) N dt
假设5. 群体增长恒定. 则 r(t, N) = r( N)
dN r(N )N dt
假设6. 个体增长独立. 则 r( N) = r.
dN rN dt
池水含盐 池中有一定体积的盐水，从池的 上部向池中注入一定浓度的盐水。混 合后的盐水将从池的下部流出。 建模描述池中盐水浓度的动态。 假设： 1. 盐水注入池中后迅速混合 2. 池中盐水浓度均匀。
通过单位面积膜分子扩散的速度与两侧溶液的 浓度差成正比, 比例系数k表征了薄膜被该物质分 子穿透的能力, 称为渗透率. 定时测量容器中某一侧的溶液浓度值以确定k 的数值. 试建立该问题的数学模型. 解 如果va = vb = 100cm3, s =10cm2, 且对容 器的B部分溶液浓度的测试结果如下： ti (s) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 ci (10-3mg /cm3) 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59 试确定k的值.
n
的最小值点 ( k, x, y ). 将已知测试数据代入, 得极小化的函数
.
Q(k , x, y) [ x ye
i 1
n
kti / 5
ci ]
2
利用MATLAB软件中的fmins函数求得 k = 0.01012 (cm /s), x = 7 (10-3mg /cm3), y = -3 (10-3mg /cm3), 进一步 求得aa = 10(10-3mg /cm3), ab = 4 (10-3mg /cm3).
模型举例 例. 人口的自然增长. 建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。 即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化 的过程。 令N(t)表示t时刻的人口数。 假设1. 人群个体同质。 N(t) 连续可微. 假设2. 群体规模大。 平衡关系：人口数在区间[t，t+Δt]内的改变量
等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之 差。
t
p( )rO ( )d
p(t t )V (t t ) p(t )V (t ) [ pI ( )rI ( ) p( )rO ( )]d
t
t t
p(t t )V (t t ) p(t )V (t ) [ pI (t t )rI (t t ) p(t t )rO (t t )]t
假设薄膜两侧的溶液始终是均匀的, 即在任何时刻膜两侧的每一处溶液的浓 度都是相同的, 且薄膜是双向同性的, 即物质从薄膜 任一侧向另一侧渗透的性能是相同的. 令时刻t时膜两侧溶液的浓度分别为ca (t ) 和cb (t ). 初始时刻膜两侧溶液的浓度分别为 aa和ab, 单位均为10-3mg /cm3, 又设B侧在ti时刻测得的浓度为ci .
由于R(t,Δt,N)|Δt=0=0，将R(t,Δ t,N) 关于Δt展开
dR R(t , t , N ) dt t o(t ) r (t , N )t o(t )
t 0
N (t t ) N (t ) R(t , t , N ) N
令 Δt→0 取极限可得
数学建模 池中盐水的改变量 V(t+Δt)-V(t) ) d
流出盐水量

池中盐的改变量 流入盐量
rO ( )d
p(t+ Δ t)V(t+ Δ t)-p(t)V(t)

t t
t
pI ( )rI ( )d
流出盐量

t t
0 t
• 利用积分中值定理可得
类似地有
模型
池中原有盐水体积 V0, 原有盐水浓度p0;
模型
dp(t ) V (t ) rI (t )[ pI (t ) p(t )] dt p(0) p0 V (t ) V0 [rI ( )d rO ( )]d
0 t
进一步问题：池中有水 2000 m3，含盐 2 kg，以 6m3 / 分 的速率向池中注入浓度为 0.5 kg / m3 的盐水， 又以 4 m3 / 分的速率从池中流出混合后的盐水。问欲使 池中盐水浓度达到 0.2 kg / m3，需要多长时间？ 此时 V(t)=2000+2*t. dp/dt=3/V(t)-6*p(t)/V(t), p(0)=0.001. 用MATLAB求 p(t)