Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、
方差率为 2S2的伊藤过程来表示：
dSSdtSdz
两边同除以S得：
dSdtdz （6.6）
S
则： SS tS z （6.12）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
d f( S fS ft1 2 S 2f22S2)d t S fS（d 6.z 13） f ( S fS ft 1 2 S 2f22 S 2 ) t S fS票遵循几何布朗运动， 其波动率为每年18%，预期收益率以连 续复利计为每年20%，其目前的市价为 100元，求一周后该股票价格变化值的概 率分布。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
五、伊藤引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函 数G将遵循如下过程： dG ( G xa G t1 2 2 xG 2b2)d t G xb（d6z.8）
由于 dSSdtSdz （6.9）
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22S2)d t G SSd (6.1z0)
i1
当0时，我们就可以得到极限的标准布
朗运动： dz dt
（6.3）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
（二）普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为 1.0。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期
望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗
运动：dxadb t dz
（6.4）
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗
运动。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
三、伊藤过程
机值。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
标准布朗运动(2)
特征2：对于任何两个不同时间间隔，t 和 z的值相互独立。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情
形，我们可得： N z(T)z(0)i t （6.2）
为了消除z ，我们可以构建一个包括一单位 衍生证券空头和 f 单位标的证券多头的组合。 令 代表该投资组 S 合的价值，则：
f f S (6.15)
S
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
在t
时间后：
f
f
S
S
（6.16）
将式（6.12）和（6.14）代入式
（6.16），可得：
(f t
1 2 S 2f22S2)（t 6.17）
在没有套利机会的条件下：
rt
把式（6.15）和（6.17）代入上式得：
( ft1 2 S 2f22S2) tr(f S fS) t
布莱克-舒尔斯期权定价模型
二、布朗运动
（一）标准布朗运动
z
设 t 代表一个小的时间间隔长度， 代表
变量z在时间 t 内的变化，遵循标准布朗 运动的 z具有两种特征：
特征1：z和t 的关系满足（6.1）：
z t
（6.1）
其中，代表从标准正态分布（即均值为0、
标准差为1.0的正态分布）中取的一个随
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若
把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的
函数，我们可以从公式（6.4）得到伊藤过程
（Ito Process）：
d xa (x,t)d tb (x,t)dz
(6.5）
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x 和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
lS n T lS n ~ [( 2 2 )T ( t),T t]
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
例6.2 设A股票价格的当前值为50元,预期收益 率为每年18%,波动率为每年20%,该股票 价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个 月内不付红利，请问该股票6个月后的价 格ST的概率分布。 例6.3 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价 格的期望值和标准差等多少？
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
从（6.6）可知，在短时间后，证券价格 比率的变化值为：
Stt
S 可见， S 也具有正态分布特征
S
S~(t, t) (6.7)
S
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
六、证券价格自然对数变化过程
令 GlnS，由于 代入式（6.10）:
G SS 1, S 2G 2 S12,G t 0
dG(2)dtdz （6.11）
2
证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
第二节 布莱克——舒尔斯期权 定价模型
一、布莱克——舒尔斯微分方程 （一）布莱克——舒尔斯微分方程的推 导 我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：
dSSdtSdz