徐汇区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试 数学试卷 2018.12 考生注意：
1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．
2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．
4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为___________.
2.已知全集U =R ，集合{}
2,,0A y y x x x -==∈≠R ，则U A =ð___________.
3.若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为___________.
4.若数列{}n a 的通项公式为*2
()1
11n n a n N n n
=∈+，则lim n n a →∞=___________. 5.已知双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是___________.
6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，()3,1n =是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点()1,n n a a +均在l 上.若26a =，则3a 的值为 .
7.已知()212n x n N x *⎛⎫-∈ ⎪⎝
⎭的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x 项的系数是 .（结果用数值表示）
8.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：
其他人的成绩至少是B 级及以上，平均分是64分.这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为___________人.
9.已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数
[]()()(1,2)g x f x x =∈，则()g x 的反函数为______________________.
10.已知函数sin y x =的定义域是[],a b ，值域是12⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
-1，，则b a -的最大值是___________. 11.已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩
.若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
12.已知圆M :1)1(22=-+y x ，圆N :1)1(2
2=++y x .直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点.点P 是椭圆22
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x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为___________.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.设R θ∈，则“=6π
θ”是“1sin =2
θ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件
14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）
（A ）16 （B
） （C ）163 （D ）1283
15.对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{}(,)|()()0x y y x y x +-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”.已知函数：①sin y x =
；②y ，下列结论
正确的是( )
（A ）①、②均不是“蝶型函数”
（B ）①、②均是“蝶型函数”
（C ）①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”
（D ）①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数”
16.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S .若对任意的*n N ∈，都有3n S S ≥，则65
a a 的值不可能为（ ）
（A ）2 （B ）
53 （C ）32 （D ）43
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1.
（1）正方体''''ABCD A B C D -中哪些棱所在的直线与直线'A B 是异面直线？
（2）若,M N 分别是','A B BC 的中点，求异面直线MN 与BC
所成角的大小.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数2(),2
ax f x x -=+其中.a R ∈ （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；
（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角3AOB π
∠=. 该地区为打击洋垃圾走私，在海岸
线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）.在圆弧的两端点
,A B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里.
（1）求海域ABCD 的面积；
（2） 现海上P 点处有一艘不明船只，在A
点测得其距A 点
40海里，在B 点测得其距B 点. 判断这艘不明船
只是否进入了海域ABCD ？请说明理由.
海
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>
的长轴长为
1,直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于,A B 两点.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若A 为椭圆的上顶点，M 为AB 中点，O 为坐标原点，连接
OM 并延长交椭圆Γ于N ，62
ON OM =,求k 的值； （3）若原点O 到直线l 的距离为1，OA OB λ⋅=，当
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λ≤≤时， 求OAB ∆的面积S 的范围.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知项数为0n 0(4)n ≥项的有穷数列{}n a ，若同时满足以下三个条件：
①011,n a a m ==(m 为正整数)；②10i i a a --=或1，其中02,3,,i n =…； ③任取数列{}n a 中的两项,()p q a a p q ≠，剩下的02n -项中一定存在两项,()s t a a s t ≠，满足p q s t a a a a +=+. 则称数列{}n a 为Ω数列.
（1）若数列{}n a 是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{}n a 是否是Ω
数列，并说明理由；
（2）当3m =时，设Ω数列{}n a 中1出现1d 次，2出现2d 次，3出现3d 次，其中*123,,d d d N ∈，求证：1234,2,4d d d ≥≥≥；
（3）当2019m =时，求Ω数列{}n a 中项数0n 的最小值.
徐汇区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试
数学试卷参考答案。