PV 正垂面P
RV 水平面R
TV 侧平面T UV
侧垂面U
QH 正平面Q SH 铅垂面S
UH TH
特殊平面的迹线表示
正垂面P
PV
SV
XX X PH
铅垂面PSH
V
V P PVV
S
WW P
SW W
SV
PV
Sw
O
PH
PH
O
HH H
SH
V
PV
a
A
a
V
V
c
b c
B
PbbVPaW
B W
aCA c
b
b c
a
a
PcH b C
ke段直线在ac边之前，故V投
f
c
影图k′e′段直线可见，画 实线。过k′后重叠部分不可
见，画虚线。
a k
△ABC是下行平面，V、H
投影图的可见性相反，直接
判别H投影图的可见性，ke重
叠部分不可见，画虚线。过
交点k后直线可见，画实线。
b
e
四、两一般位置平面相交
求两一般位置平面交线的问题可以看作是求两 个共有点的问题, 因而可利用求一般位置线面交 点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两 平面的交线。
（d）
(c)
对H 面的最大斜度线
上讲要点回顾
• 熟练掌握平面的空间七种位置及其投影特征。
水平面、正平面、侧平面，铅垂面、正垂面、侧垂面、一般面
• 充分理解平面的迹线概念，了解平面的迹线作法。
PV、PH分别是平面上的两条特殊线，求迹线的方法同求迹点
• 熟练掌握平面上的各种直线的概念、求法。有关最大斜度线 的问题为上讲的难点。
H Hc
b
a
B W
C
PV
b
W
A a
PW
c
c
c H
PHb
PHa
不补画W投影，只利用V、H投影区分一般位 置平面与侧垂面。 平面中存在一条侧垂线
b c
b a
a
c a
a
b
b
一般位置平面
侧垂面
bb
aa
d′
c c
a a
侧垂面
一般位置平面
cc
bb
d′
c c
习题讲评:4-3 包含已知直线AB作平面P(用迹线表示)。
二．平面与平面平行
几何条件：若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交 二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依 据。
三. 两面平行的作图问题有: ①判别两已知平面是否相互平 行；②过一点或直线作一平面与已知平面平行；③已知两平面 平行，完成其中一平面的投影。
一、直线与平面平行
P
C
A
D
B
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
例题1 试判断直线AB是否平行于定平面
n′
c
b
m′
g
d
p′
f
a
e
n
d
m p
直线MN 平行于定平面P
e f
a
g
b
c
结论：直线AB 不平行于定平面
例题2 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面。
c
f
e b k a
d
d f c
e
a
k
b
二、两平面平行
1
PH f
1
b
k
a e
2、求P平面与 ΔABC的交线ⅠⅡ。
a 3、求交线ⅠⅡ 与EF的交点K。
2
e c
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
V
A
M
K
C
PV B N
过MN作平面Q垂直于V投影面
以正垂面为辅助平面求线面交点
QV f
c
1
步骤： 1、 过EF作正
垂平面Q。
k b
2、求Q平面与
2
ΔABC的交线 ⅠⅡ。
③ 掌握利用重影点判别投影可见性的方
§5-1 直线与平面平行、平 面与平面平行
一．直线与平面平行
几何条件：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则 该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依 据。
有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行；作平面与已知直线平行。
利
a
k
l
用
重
4
e
影
点
m
c
判
b2
别
m
可
见
e
3 ( 4)
c
性
一、直线与平面相交的特殊情况
1、一般位置直线与垂直面相交
2、垂直线与一般位Байду номын сангаас平面相交
二、一般位置平面与特殊位置平面(垂直面)相交
三、直线与一般位置平面相交
四、两一般位置平面相交
直线与平面相交
P A
K
B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共 有点。交点的特性：交点总是可见，而且是可见与不可见 的分界点。
(a) P∥H
(b) P⊥H , ＝30°
a′
b′ PV
a′
a
b (a)
b′
30° 30°
PH a (b) PH
(b)
14页
习题讲评 4-5 △ABC属于平面P，试求作其H面投影。
b′ b′
a′
a′
a
b
p′
p′
c′ c′
cp
p
4-6
15页
习题讲评:求作属于△ABC与投影面H、V等距离点的轨迹。
与投影面H、V等距离点的
求平面ABC与直线EF的交点 。
f
c
一般位置线面没有积
聚性,怎样求交点？
b
a e
f
a
b
e c
F P
C
Ⅱ
K B
Ⅰ
f
b
1
k2
PH
c
通过作辅助平面的方 法求交点的空间分析。 辅助平面为投影面垂 直面（创造积聚性）
A E
a
e
H
以铅垂面为辅助平面求线面交点 。
f
c
2
k
b
投影作图步骤： 1、 过EF作铅垂 平面P。
注意平面可见性的判别
一般位置平面与特殊位置平面相交
V M
P B
m
c
f
b k
l
m C
c PH
K
F Nk
fb n
AL
a l
a
n
m
kb a
f
l
c
H
n
两平面图形投影重叠部分需判别可见性。交线总可见。基本方法依然是交 叉二直线重影点可见性的判别。较简单的方法是利用特殊位置平面的积聚性，
如右图由H投影图得知fkm在特殊位置平面之后，故V投影图上m′k′f′与 a′b′c′重叠部分不可见，画虚线，f′ k′l′n′与 a′b′c′重叠部分可
2 投影面垂直线与一般位置平面相交 交点的一个投影与直线 的积聚性投影重合，其余投影可利用平面上取点的方法在平面 的相应投影上得到。利用直线的积聚性在平面上取点。
注意直线可见性的判别
1 直线与特殊位置平面相交
b n
V
N
a
k
B
P
m
A
K
c
PH a
k b
C
n a
kb
M
c
Hm
c
利用特殊位置平面投影的积
聚性，在直线上定点，直接求出交点。
平面与平面相B交
M
K A
L
F
N
C 两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。 交线的特性：交线总是可见的，是可见与不可见的分界线。
一、直线与平面相交的特殊情况
线面相交的特殊情况，指其交点的投影可利用直线或平面 的积聚性投影直接求出。 1 特殊位置平面与一般位置直线相交 交点的一个投影为平 面积聚性投影与直线同面投影的交点，其余投影可在直线的相 应投影上获得。利用平面的积聚性在直线上定点。
① 熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； ② 熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及 作图方法。
2.相交问题
① 熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面 的投影具有积 聚性）交点的求法和作两个面的交线 （其中一平面的投影具有积聚性）。
② 熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌 握一般位置面、面相交求交线的作图方法。
法求出两平面
m
c b2
的两个共有点
K、E。（尽量
不选投影不重
m
叠的边，尽可
e
能选各投影均
k
c l
重叠较多的边）
2、连接两个
1
a
一般不选AB、BC、NL
n
共有点，画
出交线KE。
QV b
a
k
e′
m
b m
e k
a
若选AC、BC
n
若选了交点在 图形之外的边
l
c
PH
c l
n
两平面相交，判别可见性
b n
3
1 ( 2)
判别直线的可见性
b n
V
N
a
k
B
m
P
K A
c
n
PH a
a
bk
C
kb
M
c
Hm
c
二者投影相互重叠处才需判别可见性。可见性判别的方法一般有两种：基本方法依然 是交叉二直线重影点的可见性判别。较简单的方法是利用平面的积聚性投影直接判别。 如右图判别V投影的可见性，在H投影图中去比较交点K左侧直线和平面的前后，直线在平 面之前，故V投影图中m′k′段可见， k′n′段与平面重叠部分则不可见。