❖引例
相继作线性变换
xx12 x3
b11t1 b12t2 b21t1 b22t2 b31t1 b32t2
和
yy12
a11x1 a12x2 a13x3 a21x1 a22x2 a23x3
a2nxn
amnxn
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
y1 x1
y2 yn
x2 xn
y1 1x1
y2 yn
2 x2
n xn
1 0 0 线性变换所对应
E
0 0
1 0
0 1
的矩阵称为线性变换 的系数矩阵.
§2.1 矩阵
❖引例
一个线性方程组与一个数表存在一一对应关系
a11x1 a12x2 a1nxn b1 (a11 a12 a1n b1)
aam211xx11 aa2m22xx22aa2mn nxxn nbb2m
(a21 a22 a2n b2) (am1 am2 amn bm)
这个数表就称为矩阵.
B
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
b1 b2
bm
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❖矩阵的定义
❖方阵 行矩阵 列矩阵
由mn个数aij(i1 2 m •n阶矩阵(n阶方阵)
j1 2 n)排成的m行n列的矩 形数表称为mn矩阵 记作
10 00
.
注 图中的结点可以看作城市 有向边可以看作单向或双向 航线.
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❖矩阵举例 例3 线性变换与矩阵之间存在一一对应的关系
y1 a11x1 a12x2 a1nxn
y2 a21x1 a22x2
ym am1x1 am2x2
996996. .
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数与矩阵相乘 设A(aij) 则规定A=(aij).
❖数乘矩阵的运算规律
设A、B都是mn矩阵 、是数 则 (1)()A(A) (2)()AAA (2)(AB)AB.
矩阵的加法运算与数乘运算合起来 统称为矩阵的线性 运算.
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三、矩阵与矩阵相乘
A
B
a11 b11 a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
.
例1
设
A
3 2
5 0
74
B
12
3 1
52
则
A B 2312
53 01
7452
4 4
8 1
99 .
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矩阵的加法 设A(aij)和B(bij) 则规定AB(aijbij ).
A
A
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
.
例2
设
A
3 2 0
5 0 1
7 4 2
332
则
33AA333333023023
3355 3300 3311
3377 3344 3322
333333332332
906906
1155 00 33
2211 1122 66
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
a11 a21
an1
a12 a22
an2
•行矩阵
(a1 a 2
a1n a2n
ann
.
an)
其中aij称为矩阵的第 i 行第 j
(a1 a 2 an).
列的元素.
•列矩阵
一般情况下 我们用大写 字母A B C等表示矩阵. mn 矩阵A简记为A(aij)mn或Amn .
B
b11 b21 b31
b12 b22 b32
b41 b42
其中bi1为第i种产品的单价 bi2为第i种产品的单件重量.
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❖矩阵举例 例2 由结点和有向边构成的有向图与矩阵之间存在一一
对应关系. 例如
①②③④
A
①
(aij②③)
④
10 10
1 0 1 0
1 0 0 1
恒等变换的系数
001
0
2
0
0
0n
矩阵为单位阵.
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§2.2 矩阵的运算
一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的转置 五、方阵的行列式 六、共轭矩阵
补充例题
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一、矩阵的加法
❖矩阵加法的定义
设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记为 AB 规定为AB(aijbij ) 即
B
bbb1n2
.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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❖同型矩阵 矩阵相等 •同型矩阵
两个矩阵的行数相等、列数也相等 就称它们是同型矩 阵. •矩阵相等
如果A(aij)与B(bij)是同型矩阵 并且它们的对应元素相 等 即
aijbij(i1 2 m j1 2 n) 则称矩阵A与矩阵B相等 记作AB.
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❖零矩阵 单位矩阵 对角矩阵 •零矩阵
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵 记为O.
•单位矩阵
E
1 0
0
0 1 0
0 0
1
.
•对角矩阵
单位矩阵简称为单位阵. n阶单位矩阵用En或E表示.
001
0
2
0
00n .
对角矩阵简记为
diag[1 2 n].
A
B
a11 b11 a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
.
提示
只有当两个矩阵是同型矩阵时 这两个矩阵才能进
行加法运算.
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一、矩阵的加法
❖矩阵加法的定义
设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记为 AB 规定为AB(aijbij ) 即
注 n阶矩阵中从左上角到右下角的直线叫做主对角线.
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❖矩阵举例 例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
A
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
其aij为工厂向第i个店发送第j种产品的数量.
这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵
❖矩阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则 (1)ABBA (2)(AB)CA(BC).
❖负矩阵 矩阵的减法 设矩阵A(aij) 记A(aij) A称为矩阵A的负矩阵. 显然有 A(A)O. 规定矩阵的减法为 ABA(B).
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二、数与矩阵相乘
❖数乘矩阵的定义
数与矩阵A的乘积 记为A或A 规定为A=(aij) 即