习 题 2-11．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．解： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010100100110000001011111000111010654321654321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1．2．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2521,03231z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-0253223z x y x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧===211z y x 。

习 题 2-21．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0112A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）22B A -．解：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-202892001050224402150112252B A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2592041021820112402140210112BA AB ；（3）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-152441606112254021402101120112B A 22．2．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230412301321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=052110351234B ，求B A 23-． 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0521103512342230412301321323B -A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=619410161510550110104220610246869012369039633．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101012121234,432112122121B A ，求（1）B A -3； （2）B A 32+；（3）若X 满足B X A =-，求X ；（4）若Y 满足()()O Y B Y A =-+-22，求Y ．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-10101212123443211212212133B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13973282851311010121212341296336366363； （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+1010121212343432112122121232B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=561252527813143030363636912864224244242； （3）由B X A =-得，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=533104041113101012121234432112122121B A X ； （4）由()()O Y B Y A =-+-22得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=2232323403402231031033112020335532)(32B A Y 。

4．计算下列矩阵的乘积：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-49635102775132)2(71112374127075321134；（2）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12332110132231=⨯+⨯+⨯=；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛63224223)1(321)1(122)1(2)21(312；（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121023143110412⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯+⨯-+⨯⨯+-⨯+-⨯-+⨯⨯+⨯+⨯-+⨯-⨯+⨯+⨯+⨯⨯+-⨯+-⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯=)2(4132)1(2104)3(3)1()1(3144130)1(11)2(014212200)3(4)1(13240140112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=55201076； （5）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=321333223113332222112331221111x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a333322311323322221121331221111)()()(x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a ++++++++=233332322322223131132121122111)()()(x a x x a a x a x x a a x x a a x a ++++++++=。

（6）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛900034004210252130003200121013013000120010100121。

5．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ，求3A ．解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2λλλλλλλλλλλA 002012001001001001222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==3232322223003033001001002012λλλλλλλλλλλλλλA A A 。

6．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=021032A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=032001B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=542001C ， （1）求AB 及AC ；（2）如果AC AB =，是否必有C B =？ （3）求TTA B ．解：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4162032001021032AB ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4162542001021032AC ； （2）由（1）知AC AB =，而C B ≠；（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==16424162TT(AB)A B T T 。

7．已知1)(2--=x x x f ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011213113A ，求)(A f ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=100010001011213113011213113011213113)(E A A A 2f⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211301142910001000101121311310052145313。

８．举反例说明下列命题是错误的： （1）若O A =2，则O A =；（2）若A A =2，则O A =或E A =；（3）若AY AX =，且O A ≠，则Y X =．解：（1）举例若01111≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A ，而02=A ； （2）举例若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A ，A A =2而0≠A 且E A ≠； （3）举例若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011X ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1100Y ，AY AX =，且O A ≠而Y X ≠。

9．证明： 如果BC CB AC CA ==, ，则有（1）)()(B A C C B A +=+；（2）)()(AB C C AB =． 证明：（1）)()(B A C CB CA BC AC C B A +=+=+=+； （2）)()(AB C (CA)B (AC)B A(CB)A(BC)C AB ===== 10．设B A ,均为n 阶矩阵，证明下列命题是等价的： （1）BA AB =；（2）2222)(B AB A B A ++=+； （3）2222)(B AB A B A +-=-；（4）22))(())((B A B A B A B A B A -=+-=-+．证明：（1）⇒（2）因为BA AB =，所以222222)(B AB A B BA AB A B A ++=+++=+； （2）⇒（1）222222)(B AB A B BA AB A B A ++=+++=+，所以BA AB =； （1）⇒（3）因为BA AB =，所以222222)(B AB A B BA AB A B A +-=+--=- （3）⇒（1）222222)(B BA AB A B AB A B A +--=+-=-，所以BA AB =； （1）⇒（4）因为BA AB =，所以2222))((B A B BA AB A B A B A -=-+-=-+ （4）⇒（1）2222))((B A B BA AB A B A B A -=-+-=-+，所以BA AB =。

11．设A 与B 是两个n 阶反对称矩阵，证明：当且仅当BA AB -=时，AB 是反对称矩阵． 证明：先证当BA AB -=时，AB 是反对称矩阵。

因为AB BA A B (AB)TTT-===，所以AB 是反对称矩阵。

反之，若AB 是反对称矩阵，即AB (AB)T-=，则BA A B AB AB TTT-=-=-=)(。

习 题 2-31．判别下列方阵是否可逆，若可逆，求它们的逆矩阵：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3411； （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； （3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--523012101； （4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛343122321； （5）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛987654321； （6）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000210032104321． 解：（1）073411≠=-=A ，故1-A 存在，141322122111=-===A A A A从而⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-717471731413711*1A A A （2）01cos sin sin cos ≠=-=θθθθA ，故1-A 存在，θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而*11A A A=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos （3）02523012101≠=--=A ，故1-A 存在，2,2,7,10,52221131211-====-=A A A A A ，1,2,1,5233323123==-=-=A A A A从而*11A AA =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2112711521125（4）02343122321≠==A ，故1-A 存在，6,6,2,3,22221131211-===-==A A A A A ，2,5,4,233323123-==-==A A A A从而*11A A A=-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=11125323231（5）0987654321==A ，故1-A 不存在。