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高中数学-等比数列练习题(含答案)

等比数列练习(含答案)一、选择题1.(广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ,2a =1,则1a = A.21B. 22C. 2D.2【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a 的公比为正数,所以q =故212a a q ===,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列,那么( )A 、3,9b ac ==B 、3,9b ac =-=C 、3,9b ac ==-D 、3,9b ac =-=-3、若数列}{n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a nn 则(A )15 (B )12 (C )-12 D )-15 答案:A4.设{n a }为等差数列,公差d = -2,n S 为其前n 项和.若1011S S =,则1a =( ) A.18 B.20 C.22 D.24 答案:B 解析:20,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S5.(四川)已知等比数列()n a 中21a =,则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞ C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞答案 D6.(福建)设{a n }是公比为正数的等比数列,若n 1=7,a 5=16,则数列{a n }前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C7.(重庆)在等比数列{a n }中,a 2=8,a 5=64,,则公比q 为( ) A .2 B .3 C .4 D .8 答案 A8.若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ,则公比为 A .2 B .4 C .8 D .16 答案:B9.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n +1 =3S n (n ≥1),则a 6=(A )3 × 44 (B )3 × 44+1 (C )44 (D )44+1答案:A 解析:由a n +1 =3S n ,得a n =3S n -1(n ≥ 2),相减得a n +1-a n =3(S n -S n -1)= 3a n ,则a n +1=4a n (n ≥ 2),a 1=1,a 2=3,则a 6= a 2·44=3×44,选A .10.(湖南) 在等比数列{}n a (n ∈N*)中,若11a =,418a =,则该数列的前10项和为( ) A .4122- B .2122- C .10122- D .11122-答案 B11.(湖北)若互不相等的实数 成等差数列, 成等比数列,且310a b c ++=,则a = A .4 B .2 C .-2 D .-4 答案 D解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a =b -d ,c =b +d ,由310a b c ++=可得b =2,所以a =2-d ,c =2+d ,又,,c a b 成等比数列可得d =6,所以a =-4,选D12.(浙江)已知{}n a 是等比数列,41252==a a ,,则13221++++n n a a a a a a =( ) A.16(n --41) B.6(n--21),,a b c ,,c a bC.332(n --41) D.332(n --21) 答案 C二、填空题:三、13.(2009浙江理)设等比数列{}n a 的公比12q =,前n 项和为n S ,则44S a = .答案:15解析 对于4431444134(1)1,,151(1)a q s q s a a q q a q q --==∴==--14.(2009全国卷Ⅱ文)设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。

若3614,1s s a ==,则4a =答案:3解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由3614,1s s a ==得q 3=3故a 4=a 1q 3=315.(全国I) 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1S ,22S ,33S 成等差数列,则{}n a 的公比为 .答案1316.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ,且931,,a a a 成等比数列,则1042931a a a a a a ++++的值为 .答案 1316三、解答题17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3. (I )求数列{a n }的通项公式;(II )若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值.18:①已知等比数列{}n a ,1231237,8a a a a a a ++==,则n a = ②已知数列{}n a 是等比数列,且210,30m m S S ==,则3m S =③在等比数列{}n a 中,公比2q =,前99项的和9956S =,则36999a a a a +++⋅⋅⋅+= ④在等比数列{}n a 中,若394,1a a ==,则6a = ;若3114,1a a ==,则7a = ⑤在等比数列{}n a 中,()5615160,a a a a a a b +=≠+=,则2526a a +=解:①212328a a a a == ∴22a = ∴1311335144a a a a a a +==⎧⎧⇒⎨⎨⋅==⎩⎩ 或1341a a =⎧⎨=⎩ 当1231,2,4a a a ===时,12,2n n q a -==当1234,2,1a a a ===时,111,422n n q a -⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭②()()2232370m m m m m m S S S S S S -=⋅-⇒=③设114797225898336999b a a a a b a a a a b a a a a =+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ 则1223,b q b b q b ==,且12356b b b ++=∴()21156b q q=++= 即1568124b ==++ ∴23132b b q ==④2639a a a =⋅ 62a =± 27311a a a =⋅ 72a =(-2舍去)∵当72a =-时,447340a a q q ==>⑤1015162526561516a a a a q a a a a ++==++ ∴()221516252656a a b a a a a a++==+19.(本小题满分12分) 已知等比数列{}n a 中,113a =,公比13q =. (I )n S 为{}n a 的前n 项和,证明:12nn a S -=(II )设31323log log log n n b a a a =+++,求数列{}n b 的通项公式.20、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M 的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M 的价值为上年初的75%. (I )求第n 年初M 的价值n a 的表达式; (II )设12,nn a a a A n+++=若n A 大于80万元,则M 继续使用,否则须在第n 年初对M 更新,证明:须在第9年初对M 更新. 解析:(I )当6n ≤时,数列{}n a 是首项为120,公差为10-的等差数列. 12010(1)13010;n a n n =--=- 当6n ≥时,数列{}n a 是以6a 为首项,公比为34为等比数列,又670a =,所以 6370();4n n a -=⨯因此,第n 年初,M 的价值n a 的表达式为612010(1)13010,6370(),74n n n n n n a a n ---=-≤⎧⎪=⎨=⨯≥⎪⎩ (II)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和,由等差及等比数列的求和公式得当16n ≤≤时,1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=-当7n ≥时,666786333()570704[1()]780210()4443780210()4.n n n n n n S S a a a A n---=++++=+⨯⨯⨯-=-⨯-⨯=因为{}n a 是递减数列,所以{}n A 是递减数列,又86968933780210()780210()4779448280,7680,864996A A ---⨯-⨯==>==<21:①已知{}n a 等比数列,324202,3a a a =+=,求{}n a 的通项公式。

②设等比数列{}n a 的公比为()0q q >,它的前n 项和为40,前2n 项和为3280,且前n 项和中最大项为27,求数列的第2n 项。

③设等比数列{}n a 的公比1q <,前n 项和为n S ,已知3422,5a S S ==,求{}n a 的通项公式。

解:①13q =或3q = 323n n a -=⨯ 或 323n n a -=⨯ ②当1q =时 1214023280n nS na S na ==⎧⎨==⎩ 无解当1q ≠时 ()()12121401132801n n n n a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩2182n n n S q S =+= ∴81nq = ∴1112a q =-- ∵0q > 即81nq =1> ∴1q > ∴10a > ∴数列{}n a 为递增数列∴1112781n n a a a q q -===⋅ 解方程组1113112a q a q⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩ 得113a q =⎧⎨=⎩ ∴2121213n n n a a q --==③由已知()1110,1nn a q a S q -≠=- 时 ()()214211211511a q a q a q q q ⎧=⎪--⎨=⨯⎪--⎩得()42151q q -=- ∵1q < ∴1q =- 或 2q =-当1q =-时,()112,21n n a a -==-当2q =-时,()()112111,21222n n n n a a ---==-=- 22.数列{}n a 为等差数列,n a 为正整数,其前n 项和为n S ,数列{}n b 为等比数列,且113,1a b ==,数列{}n a b 是公比为64的等比数列,2264b S =.(1)求,n n a b ;(2)求证1211134n S S S +++<. 解:(1)设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q ,则d 为正整数,3(1)n a n d =+-,1n n b q -=依题意有1363(1)22642(6)64n n nda d n d ab q q b q S b d q +++-⎧====⎪⎨⎪=+=⎩①由(6)64d q +=知q 为正有理数,故d 为6的因子1,2,3,6之一, 解①得2,8d q ==故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=(2)35(21)(2)n S n n n =++++=+∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 11113(1)22124n n =+--<++。

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