定常约束与非定常约束 定常约束－约束方程中不显含时间的约束：
f k ( xi ) 0, i 1,2, ,3n；k 1,2, , r (约束数)
非定常约束－约束方程中显含时间的约束：
f k ( xi，t ) 0,
2018年10月21日 理论力学CAI
i 1,2, ,3n；k 1,2, , r (约束数)
6
定常约束 —— 约束条件不随时间改变的约束。
x2 + y2 = l2
2018年10月21日 理论力学CAI
7
非定常约束

如果已知转子的转动规律(例如以等角速度 旋 转)，这种转动规律就是对系统的约束，约束方程为：
＝t
这种约束即为非定常约束。
2018年10月21日 理论力学CAI 8
双侧约束与单侧约束 双侧约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。
第十五章
分析静力学
在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通 过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体 及刚体系统的平衡问题，称为矢量静力学。
分析静力学主要研究受约束的质点、质点系、刚体、 刚体系在力系作用下的平衡规律。是研究平衡问题的最 一般的原理。 与分析力学的另一个原理，达朗伯原理相结合，就 可以将静力学的结论扩展到动力学领域。
C R 0 vC 0 x
进行积分
y C
C x
C*
xC R 0
x 圆轮所受约束为完整约束。
13
R
O
2018年10月21日 理论力学CAI
c x
追踪系统
y
yB
B
yA
A
vA
A xB x A x A yB y A y
约束方程不可积分，所以 导弹所受的约束为非完整约束。 x
15.1
虚位移和虚速度
1. 位形空间和约束曲面
质点系内各质点的 3n个坐标的集合，定义为质点系的位形。
建立抽象的3n维正交欧氏空间（x1,x2, …x3n), 称为质 点系的位形空间。
约束－物体运动所受到的限制。 质点系所受到的约束，可用联系位形与时间的约束 方程表示，则称为几何约束或完整约束。
2018年10月21日 理论力学CAI 5
非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不 可以积分的约束。
i ) 0, i 1,2 , ,3n； k 1,2, , r(约束数) f k ( xi，x
2018年10月21日 理论力学CAI 12
圆轮在平面上纯滚动
约束方程
yC R vC 0
实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何 的概念，完全与时间无关。
2018年10月21日 理论力学CAI
18
在定常约束下，虚位移就是可能 位移，就是实位移。而在非定常约束 下，虚位移不一定等同与可能位移。
2018年10月21日 理论力学CAI
19
§15.2 虚位移原理
1. 理想约束
凡约束力对于质点系的任意虚位移所作的元功 之和为零的约束，称为理想约束。
2018年10月21日 理论力学CAI
x 2 y 2 l 2 (单侧约束)
11
完整约束与非完整约束 完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者包含质点 速度但约束方程是可以积分的约束。
f k ( xi ) 0, i 1,2, ,3n；k 1,2, , r (约束数)
2018年10月21日 理论力学CAI 1
如何确定升降机液压油
W1 F F W2
缸的推力F与载荷的关系？
2018年10月21日 理论力学CAI
2
虚位移原理的思想： F1 a o b F2
几何静力学的平衡方程
M F 0
o
2018年10月21日 理论力学CAI
F1a F2b 0
双侧约束与单侧约束 y x 滑块B
O y
B
yB 0 (双侧约束)
O
B
x
yB 0 (单侧约束)
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
2018年10月21日 理论力学CAI 10
单摆 O l A A0 y x O l A A0 y x
x 2 y 2 l 2 (双侧约束)
2018年10月21日 理论力学CAI 16
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用 变分符号 表示虚位移。
2018年10月21日 理论力学CAI
17
实位移和虚位移
实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而 实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。
实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有 限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同 的方向。
质点系受有理想约束的条件：
W
2018年10月21日 理论力学CAI
f k ( xi ) 0, i 1,2, ,3n；k 1,2, , r (约束数)
单侧约束 —— 约束方程写成不等式的约束。
f k ( xi ) 0,
2018年10月21日 理论力学CAI
i 1,2, ,3n；k 1,2, , r (约束数)
9
O
xA
2018年10月21日 理论力学CAI
xB
14
对于完整约束系统，唯一地确定系统在空间位形 的独立坐标的数目，也就是广义坐标的数目，称为系 统的自由度数。 对于非完整约束系统，广义坐标的数目大于自由度 数。这时，系统的自由度等于独立的虚位移数目。 在虚位移这章中我们只讨论质点或质点系受定常、 双侧、完整约束的情况。
2018年10月21日 理论力学CAI
15
2. 可能位移、实位移和虚位移 满足约束方程的无限小位移称为质点系的可能位移。
f k f k dxi dt 0 t i 1 xi
3n
k 1,2,, r
质点系实际发生的微小位移称为实位移。 在约束允许条件下，各质点可能发生的与时间变化 无关的位移，称为质点系的虚位移。
3
功能原理的方程 T0 W F 1a F 2b 0
F1a F2b
0
0
F1a F2b 0
利用动能定理得到与几何静力学同样的平衡条件， 即用动的方法来处理静的问题。
2018年10月21日 理论力学CAI 4