2 倒立摆系统的模型建立 2.1 倒立摆特性 非线性 倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。 不确定性 模型误差以及机械传动间隙，各种阻力带来实际系统的不确定性。实际控制中一般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。 耦合性 倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。 开环不稳定性 倒立摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。 约束限制 由于机构的限制，如运动模块的行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机的功率尽量要求最小。行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车撞边现象[22]。 2.2 一阶倒立摆数学模型 倒立摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面分别采用牛顿力学方法和拉格朗日方法建立直线型一级，二级倒立摆系统的数学模型。 2.2.1 一级倒立摆物理模型 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线型一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.1所示： 摆杆皮带 导轨
皮带轮 图2.1 单级倒立摆系统物理模型
2.2.2 一级倒立摆数学模型 各符号代表的意义及相关的数值： 表2.1 一级倒立摆参数表 参 数 参数意义 参数值 M 小车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.13Kg b 小车摩擦系数 0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m I 摆杆转动惯量 0.0034Kg*m*m f 加到小车上的力 x 小车位置 摆杆与竖直向上方向的夹角
通过对系统中小车和摆杆进行受力分析，分别可得到以下运动方程： 2()cossinFMmxbxmlml (2.1)
22()sincos2sin(sincos)Imlmglmlxml (2.2)
22222
cossincos2sinsin2sincosMmmlxFbxmlmlmlImlmglml
(2.3)
2.3 二阶倒立摆数学模型 2.3.1 二级倒立摆物理模型 如图2.3所示为直线型二级倒立摆物理模型 摆杆皮带 导轨
皮带轮 图2.3二级倒立摆系统的物理模型 倒立摆装置主要由沿导轨运动的小车和固定到小车上的两个摆体组成。摆体与摆体之间，摆体与小车之间由转轴连接，在连接处有两个光电编码器分别用来测量两个摆杆的角度，在轨道一端有伺服电机，并装有用来测量小车位移的光电编码器。小车由伺服电机，皮带，皮带轮带动可以沿导轨左右运动，从而使两摆体稳定在竖直位置。并且可以定位跟踪在导轨的某一特定位置。 2.3.2 二级倒立摆数学模型 表2.2 二级倒立摆参数表 参 数 参数意义 参数值 M 小车质量 1.096Kg m1 摆杆1质量 0.13Kg m2 摆杆2质量 0.05Kg m3 摆杆3质量 0.236kg J1 摆杆1转动惯量 0.0002Kg*m*m J2 摆杆2转动惯量 0.0034Kg*m*m l1 摆杆1中心到转动中心的距离 0.0775m l2 摆杆1中心到转动中心的距离 0.25m
1 摆杆1与竖直方向的夹角
2 摆杆2与竖直方向的夹角
F 作用在系统上的力 利用拉格朗日方程推导运动学方程： 拉格朗日方程为： (,)(,)(,)LqqTqqVqq (2.4)
其中L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标。T为系统的动能，V为系统的势能。 iii
dLLfdtqq
(2.5)
其中1,2,3......in，if为系统在第i个广义坐标上的外力，在直线型二级倒立摆系统中，系统的广义坐标有三个，分别是12,,x。 首先计算系统的动能： 123MmmmTTTTT (2.6) 其中123,,,MmmmTTTT分别为小车动能，摆杆1的动能，摆杆2的动能和质量快的动能。 小车的动能： 212MTMx (2.7)
而摆杆1和摆杆2的动能又由两部分组成： '''111mmmTTT (2.8)
其中'''11,mmTT分别为摆杆1的平均动能和转动动能。 '''222mmmTTT (2.9)
其中'''22,mmTT分别为摆杆2的平均动能和转动动能。 对于二级倒立摆系统，我们设以下变量： 1xp 为摆杆1质心横坐标；1yp 为摆杆1质心纵坐标； 2xp 为摆杆2质心横坐标；2yp 为摆杆2质心纵坐标； xm 为质量快质心横坐标；ym 为质量快质心纵坐标； 又有： 1111112211221111
1sin()1cos()22sin()sin()22cos()cos()2sin()2cos()xpxlyplxpxllypllxmxlyml
(2.10) 则有： '2211''2221111111(1)(1)(()())21126m
mp
dxpdypTmdtdtTJml
(2.11)
同理得到： '2222''2222222221(2)(2)(()())21126m
mp
dxpdypTmdtdtTJml
(2.12)
'22331()()(()())2m
dxmdymTmdtdt (2.13)
于是得到系统的总动能： 123MmmmTTTTT (2.14)
222221111
11(1)(1)1(()())226dxpdypMxmmldtdt
22222222
1(2)(2)1(()())26dxpdypmmldtdt
223
1()()(()())2dxmdymmdtdt
系统的势能为： 123mmmVVVV (2.15)
12312mgypmgypmgym
11121122311cos(2coscos)2cosmglmgllmgl 由于系统在12,广义坐标下没有外力作用，所以有：
110dLLdt
220dLLdt (2.16)
dLLudtxx
展开得到 212311123121221
22222122122
12311222
4(22)cos(44)2cos()34cos2cos()3123(22)coscosmmmlmmmlmllmlmllmlMmmmmmmlml
12
x
12311222222221231
(2)sinsinsin(22)cosmmmglmglumlmmml
(2.17)
它可以表现成以下形式的非线性方程： 11212121212231212
(,,,,)(,,,,)(,,,,)xfufufu
(2.18)
3 基于T-S模糊模型的模糊控制 3.1 模糊控制理论概述 模糊控制是以模糊集合理论、模糊语言变量及模糊推理为基础的一类控制方法。模糊控制的基本思想是用机器去模拟人对系统的控制，而不是依赖控制对象的模型。因此，模糊控制主要研究那些在现实生活中广泛存在的、定性的、模糊的、非精确的信息系统控制问题。所以将模糊控制应用于倒立摆这种高度非线性的被控对象中。本章主要应用模糊控制理论思想，研究了倒立摆系统的模糊控制方法问题。 模糊控制是以模糊集理论，模糊语言变量和模糊逻辑推理为基础的一种智能控制方法，它从行为上模仿人的模糊推理和决策过程。该方法首先将操作人员或专家经验转化成模糊规则，然后将来自传感器的实时信号模糊化，将模糊化后的实时信号，作为模糊规则的输入，完成模糊推理，将推理后的得到的输出量加到执行器上。 模糊控制的基本原理如图3.1所示：
A/D 计算控制量 模糊量化处理 模糊控制规则 模糊决策 非模糊化处理 D/A 执行机构 被控对象
传感器