控制工程与仿真课程设计报告报告题目直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计组员1专业、班级14自动化1 班姓名朱永远学号1405031009组员1专业、班级14自动化1 班姓名王宪孺学号1405031011组员1专业、班级14自动化1 班姓名孙金红学号1405031013报告评分标准直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计一状态空间模型的建立1.1直线一级倒立摆的数学模型图1.1 直线一级倒立摆系统本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。

图1.2是系统中小车的受力分析图。

其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图1.2 系统中小车的受力分析图图1.3是系统中摆杆的受力分析图。

Fs 是摆杆受到的水平方向的干扰力, Fh是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力Fg。

图1.3 摆杆受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：()11-设摆杆受到与垂直方向夹角为α 的干扰力Fg ，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS 、垂直干扰力Fh 产生的力矩。

()21-对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()θsin 22l x dtd m F N S +=- ()31-即：αθθθθsin sin cos 2fF ml ml xm N +-+= ()41-对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：()θcos 22l l dtd m F mg P h -=++-()51-即 θθθθαcos sin cos 2 ml ml F mg P g+=++- ()61-力矩平衡方程如下：0cos sin sin cos cos sin =++++θθθθαθα I Nl Pl l F l F g g ()71-代入P 和N ，得到方程：()0cos 2sin sin 2cos sin cos 2cos sin 2222=+-++++θθθθθθθαθαxml ml mgl ml I l F l F g g()81-设φπθ+=，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。

假设φ<<1，则可进行近似处理：φφφφφφφ===⎪⎭⎫⎝⎛==2sin ,12cos ,0,sin ,1cos 2dt dN x f F xM --= αsin g S F F =αcos g h F F =由于：231ml I =方程化为：()xm mg ml F g=-+--φφαφα34cos sin 2 ()91-令：()αφαcos sin --=g f F F ，则()91-可化为：xm mg ml F f=-+φφ342 ()101-即是化简后的直线一级倒立摆系统微分方程。

带入实际数据后，微分方程为：mF x f 234.29-+= θθ()111-当忽略了F f 时，系统的微分方程如式（1-12）所示x 34.29+=θθ()121-忽略干扰力后，直线一级倒立摆系统是单输入二输出的四阶系统，考虑干扰力后，直线一级倒立摆系统是二输入二输出的四阶系统。

其内部的4个状态量分别是小车的位移x 、小车的速度x、摆杆的角度θ、摆杆的角速度θ 。

系统输出的观测量为小车的位移x 、摆杆的角度θ。

其控制量为小车的加速度θ将微分方程（1-12）化为关于加速度输入量和角度输出量的传递函数：()()4.2932-=s s R s θ()131-1.2 直线一级倒立摆系统的状态方程实验所使用的直线一级倒立摆系系统是加速度x作为系统的控制输入，所以根据式（1-12）建立系统的状态方程为：xll g xx x x 4343+====φφφφ整理后得到系统状态方程：[][]x x x x y x l g x x l gx x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00010000014301004300100000000010φφφφφφφ将实际参数代入得到一级倒立摆系统的状态空间方程为：[][]x x x x y xx x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001000001301004.2900100000000010φφφφφφφ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=04.2900100000000010A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3010B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01000001C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00D二运动分析、能控性及能观性分析2.1 运动分析线性定常系统非齐次状态方程为：则其解为：系统的输出方程为：则运动分析可以借助计算机的MA TLAB 进行。

用MATLAB 仿真求线性非齐次状态方程的解实例如例1 所示。

例1 已知系统状态方程为用以下MATLAB 程序求系统方程的解。

其中，collect( )函数的作用是合并同类项，而ilaplace( )函数的作用是求取拉普拉斯逆变换，函数det( )的作用是求方阵的行列式，语句phi=subs(phi0,’t ’ ,(t-tao))表示将符号变量 phi0 中的自变量 t 用(t-tao)代换就构成了符号变量 phi ， 而语句x2=int(F,tao,0,t)表示符号变量 F 对 tao 在 0 到 t 的积分区间上求积分， 运算结果返回到 x2。

程序执行结果为这表示2.2 系统能控性分析系统的可控性可根据秩判据进行可控性判断。

线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是：1()n rank B AB A B n -⋅⋅⋅=，其中n 为系统矩阵A 的阶次，1()n M B AB A B -=⋅⋅⋅为系统的可控性矩阵。

matlab 程序及运行结果如下：>> A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0]; >> B=[0;1;0;3];>> T=ctrb(A,B); >> rank(T) ans = 4由于rank （Ic ）=4，可见该系统是完全可控的。

2.3 系统能观测性分析系统的可控性可根据秩判据进行可控性判断。

线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是：1n C CA rank N rank n CA -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅==⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦或21(()())T T T T T T n Trank C A C A C A C n -⋅⋅⋅=其中n 为系数矩阵A 的阶次。

matlab 程序及运行结果如下：>> A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0]; >> C=[1 0 0 0;0 0 1 0]; >> T0=obsv(A,C); rank(T0) ans = 4由于rank （T0）=4，故该系统是可观测的。

三 状态反馈与状态观测器设计3.1状态反馈原理设ｎ维线性定常系统：Cx y Bu Ax x=+=, 其中x,u,y 分别是n 维、p 维、q 维向量；A 、B 、C 分别是n*n 维，n*p 维，n*q 维实数矩阵。

状态反馈系统的控制量u 取为状态x 的线性函数：Kx v u -=其中，v 为p 参考输入向量，K 为p*n 维实反馈增益矩阵。

加入状态反馈后系统的结构图如图3.1所示：图3.1 系统的全状态反馈结构图则系统状态反馈的动态方程为：()Cx y Bv x BK A x=+-=, 3.2状态反馈观测器和simulink 仿真状态反馈的的实现是利用状态反馈使系统的闭环极点位于所希望的极点位置。

而状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。

直线一级倒立摆系统是可控的。

设系统期望极点为[]4321λλλλ=[]i i 343432--+---，则系统期望特征多项式为：()()()()()4321*λλλλ----=s s s s s a列写状态反馈系统的特征多项式：()BK A SI +-det令两个特征多项式各项系数对应相等，则可解出K 阵。

由matlab 求出状态反馈矩阵K ，编程如下：A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0];>> B=[0;1;0;3];>> K=acker(A,B,[-2 -3 -4+3i -4-3i])K =-5.1020 -5.8844 35.1673 6.2948系统加入0.1m/s 2的阶跃输入，在构成的状态反馈调节器控制下，MATLAB 中进行系统的阶跃响应仿真，编程如下：A=[0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 29.4 0];B1=[013];C=[1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1];D1=[0 0 0 0]';dt=0.005;ieof=801;for i=1:ieof;U(:,i)=[0.1];T(i)=i*dt;end;%%离散化op=[-2 %期望极点-3-4+3i-4-3i];K=place(A,B1,op)Ak0=[(A-B1*K)];Bk0=[B1];Ck0=[C];Dk0=[D1];lqrop=eig(Ak0);x=[0 0 0 0]';dt=0.005;%离散时[dA,dB]=c2d(Ak0,Bk0,dt);%经离散化得到离散状态方程Ak1=[(A-B1*K)];Bk1=[B1];Ck1=[C];Dk1=[D1];sys=ss(Ak1,Bk1,Ck1,Dk1);[Y,X]=lsim(sys,U,T);plot(T,-Y),grid;legend('Cart','VCart','single','Vs');图3.2 极点配置为[-2 -3 -4+3i -4-3i]时的全状态反馈仿真图横轴时间单位秒，从图中可以看出，系统稳定。

四总结通过对一级倒立摆的分析可知，在开环情况下，倒立摆的平衡系统是不稳定的的；通过秩判据可知，其系统是可控可观测的；以上都是利用MATLAB对其进行分析和设计，对其系统进行了稳定性、可控性、可观测性分析，以及极点配置和最优控制设计，从中我们可以看出，MATLAB作为一种交互式计算分析软件，其强大的运算分析功能，集科学计算、程序设计和可视化于一体的高度集成化软件环境，为控制系统的分析设计，特别是高阶系统综合设计，提供了一种方便可靠的途径。