高等数学第一章习题一、填空1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为),1[e2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)11(+x f 的定义域 [-1/2,0] 。
3.设⎩⎨⎧≤<-≤≤=211101)(x x x f ， 则)2(x f 的定义域 [0，1] 。
5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+∈,)4,(πππ6. 已知21)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。
7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()xf e 的定义域(,0]-∞8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦9. xxsin limx ∞→＝ 010.()()()=+-+∞→1761125632lim x x x x 17653。
11.x x x)21(lim -∞→＝ 2e -12.当∞→x 时，x1是比3-+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 23-14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界 有界 。
15.若A x f x x =→)(lim 0（A 为有限数），而)(lim 0x g x x →不存在，则)]()([lim 0x g x f x x +→ 不存在 。
16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。
（ 不一定 ） 17.函数23122++-=x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。
（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。
19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 充要 条件，是函数连续的 必要 条件。
（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要）21.函数xy 1=在区间[)2,1内的最小值是 不存在 22.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+=0,230,)1ln(2sin )(2x k x x x x xx f 在x ＝0处连续，则k ＝ 2 。
23.设)(x f 处处连续，且3)2(=f ，则 )2sin (3sin lim0xxf x x x →＝ 924.a x =是ax a x y --=的第 1 类间断点，且为 跳跃 间断点.25.0=x 是xy 1cos2=的第 2 类间断点，且为 振荡 间断点. 26．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当=a 0 ，=b －1 时，函数)(x f 在点x=1处连续.27.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：（1）数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的 必要 条件。
数列{}n x 收敛是数列{}n x 有界的 充分 条件。
（2）()f x 在0x 的某一去心邻域内有界是0lim ()x x f x →存在的 必要 条件。
0lim ()x x f x →存在是()f x 在0x 的某一去心邻域内有界的 充分 条件。
（3）()f x 在0x 的某一去心邻域内无界是0lim ()x x f x →=∞存在的 必要 条件。
0lim ()x x f x →=∞存在是()f x 在0x 的某一去心邻域内无界的 充分 条件。
二、选择1.如果0lim ()x x f x →+与0lim ()x x f x →-存在，则（ C ）.（A ）0lim ()x xf x →存在且00lim ()()x xf x f x →=（B ）0lim ()x xf x →存在但不一定有00lim ()()x xf x f x →=（C ）0lim ()x xf x →不一定存在（D ）0lim ()x xf x →一定不存在2.如果()∞=→x f x x 0lim ，()∞=→x g x x 0lim ，则必有（ D ）。
A 、()()[]∞=+→x g x f x x 0lim B 、()()[]0lim 0=-→x g x f x xC 、()()01lim=+→x g x f x x D 、()∞=→x kf x x 0lim （k 为非零常数）3.当∞→x 时，arctgx 的极限（ D ）。
A 、2π=B 、2π-= C 、∞= D 、不存在，但有界4.11lim1--→x x x （ D ）。
A 、1-=B 、1=C 、=0D 、不存在5.当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ C ）。
A 、x 1sinB 、xxsin C 、12--x D 、x ln 6. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有（ A ）。
A 、()+→0lg x x B 、()1lg →x x C 、132+x x ()+∞→x D 、()-→01x e x 7.无穷小量是（ C ）.（A ）比0稍大一点的一个数 （B ）一个很小很小的数 （C ）以0为极限的一个变量 （D ）常数0 8. 如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么（ D ）（A ）)()(x g x f +在0x 点处间断 （B ）)()(x g x f -在0x 点处间断 （C ）)()(x g x f +在0x 点处连续 （D ）)()(x g x f +在0x 点处可能连续。
9.已知0()lim0x f x x→=，且(0)1f =，那么（ A ） （A ）()f x 在0x =处不连续。
（B ）()f x 在0x =处连续。
（C ）0lim ()x f x →不存在。
（D ）0lim ()1x f x →=10.设2()43x xf x x x+=- ，则0lim ()x f x →为（ D ）（A ）12 (B)13 (C) 14(D)不存在11.设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,||)(x x x xx f 则（ C ）（A ） )(x f 在0=x 的极限存在且连续； （B ）)(x f 在0=x 的极限存在但不连续；(C))(x f 在0=x 的左、右极限存在但不相等； （D ）)(x f 在0=x 的左、右极限不存在。
12. 设232)(-+=xxx f ，则当0→x 时，有（ B ）（A ）)(x f 与x 是等价无穷小； （B ）)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小； （C ）)(x f 是比x 高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比x 低阶的无穷小。
13.当0→x 时，下列四个无穷小量中 ，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（ D ） （A ） 2x ； （B ） x cos 1-； （C ）112--x ；（D ） x x tan -。
14. 当0→x 时，xaxx cos 3arctan 与是等价无穷小，则：a ＝（ C ） （A ） 1 ； （B ） 2； （C ） 3； （D ）1/2 15下列运算正确的是（ C ）（A ）01cos lim 01cos lim sin lim 1cos sin lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x（B ）00lim lim sin tan lim 03030==-=-→→→x x x x xx x x x(C) )100sin (lim +∞→x x x =100lim sin lim ∞→∞→+x x xx=0 + 100=100(D) 5353lim 5sin 3tan lim ==→→x x x x x x ππ三、基本计算题（一．求极限） 1. ()x x x x x --+-∞→22lim1.解：－12. limx →+∞2.解：13.2529lim38--+→x x x3. 解： 512 4.)cos 1(cos 1limx x x x --→4.解：21 5.)2(sin lim 2n n n n -++∞→π5. 解：π6.xx x x cos 1sin )11(lim0--+→6.解：17.3032sin sin 2lim x xx x -→7.解： 318.)1ln(sin tan lim30x xx x +-→8.解：21 9.xx e e xx x sin lim sin 0--→ 9.解：110.设0→x 时，1cos 1)1(312--+x ax 与 是等价无穷小，求a 的值 10.解：23-=a 11x →11 解：－312.212)(sec lim x x x →12.解：e13. nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→1lim13.解1-e14. 121)12(lim -→+x xx x x 14解：e 15.()10lim 0,0,03x x xxx a b c a b c →⎛⎫++>>>⎪⎝⎭15.16. xx x x)21(lim 1+∞→16.解 ：2ln 1+e17.111lim21arctantt t tete tπ→+- 17. 解：1 18.)2222(lim 284nn ∞→18.解：219.设 ),1,0)(≠>=a a a x f x（求 )]()2()1(ln[1lim 2n f f f n n ∞→19. 解a ln20. ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++++∞→2)1(321(21lim 2n n n n 20. 解： 21-21.lim n 21.解： 122.)2211(lim 222nn nn n n ++++++∞→22.解： 2123.]1[lim 0xx x +→ 23.解：124.xx xxx 1)532(lim +++∞→24.解：525.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→||sin 12lim 410x x e e xx x 25.解： 1（二．连续与间断）26.处连续．在之值，使补充定义 0)()0()0()2tan arcsin()(=≠=x x f f x xxx f 26.解,6)(lim 0π=→x f x处连续．在，则补充定义0)(6)0(==∴x x f f π27.指出函数121211+-=xx y 的间断点，并判定其类型.27.解0=x 是函数的第一类间断点（跳跃间断点）。
四、综合计算题（一．连续与间断） 1．设21()lim1nn xf x x →∞-=+，讨论()f x 在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。