q

q
z
0
底面
R O
q [1 2 0
z z R
2 2
]
§7-3 静电场的高斯定理
2、电场线密度与场强的关系
dS
EA B
A
dS dΦ
EB
垂直于考察点场强的面元 通过 dS 的电场线数目 dΦ E dS
§7-3 静电场的高斯定理
【电通量】通过电场中任一曲面的电力线数目 1、匀强电场中任一平面的电通量
n

S
E
S
S

E
(1) E // n
0
(r<R)
E
r R
Q 2 4o r
r R
E
E0
O
E
Q 40 r 2
r
R
§7-3 静电场的高斯定理
例2 求半径为R、电荷体密度为 的均匀带电球体的电场
r
r
3 R E |r R r 3 3 0 r
E |r R r 3 0
§7-3 静电场的高斯定理
E
R1
R1 R2
R2
r
俯视图
§7-3 静电场的高斯定理
[例5] 在半径为R1,电荷密度为 的均匀带电球体
内，挖去以半径R2的球形空腔。空腔中心C2与带电 球心C1间距为a，且R1 >a> R2。求空腔内任意点的 电场强度。
C2 R1
a
C1
R2

§7-3 静电场的高斯定理
【填补法】 1、先填满空腔
q
i内
r
r
S
λ
S
O R
l
S r E O P
轴对称
E
o

p
S
E
球对称 高斯面选取的规则：
面对称
1. 符合带电体电场分布的几何对称性； 2. 便于沿高斯面的积分：
e E dS
S
E ∥ dS E dS
e E dS
S
e 0
e E dS ES
q Φ ε0 Φ每 个 面 q 6ε0
q
§7-3 静电场的高斯定理
[例2] 若将电荷为q 的点电荷置于立方体的
一个顶角上，求每个面上的电通量。
e
h
d
g
f
c
b
qa
一个电量为q的点电荷位于立方体的顶点A上，则通 过侧面abcd的电通量等于多少？
a
d b
q
A
A q
c
1 1 q e 0 6 4 24 0
E 0
( r R)
E
E0
O
E 20 r
r
R
无限长均匀带电圆柱体。
E 2 0 r
(r R) (r R)
r E 2 0 R 2
E
E 20 r
0
R
r
例4 设有两个无限大均匀带电同轴圆柱面，半径分别 为R1和R2，带有等量异号的电荷，单位长度的电量分 别为。求场强分布。
EA EB
在以直线为轴的圆柱面上， 电场强度大小相同。
§7-3 静电场的高斯定理
例3 求电荷线密度为 的无限长均匀带电直线的电场。 n
l
n
R
Eபைடு நூலகம்
E
E 2 o r
无限长均匀带电圆柱面。
l E 2r l 0
E 2 0 r
(r R)
E 2r l 0
§7-3 静电场的高斯定理
一对等量同号点电荷
一对等量同号点电荷
平行板电容器
平行板电容器
§7-3 静电场的高斯定理
１、电场线的性质
q
-q
(1) 电场线起自正电荷(或无穷远)，止于负电荷 (或无穷远)，但不会在没有电荷的地方中断；
(2) 静电场中的电场线不形成单向闭合线； (3) 任意两条电场线在无电荷处不会相交。
1 E dS
S
0
q
in
E 2rl 0 E0
-
R2
r l + + + +
R1
+ + + +
R1
俯视图
R2
3) 在外圆柱面之外， r>R2
1 E dS
S
E 2rl 0 E0
0
q
in
-
R2
R1
r
- l -
+ + + +
+ + + +
S
且，尽量使E 与dS 无关
§7-3 静电场的高斯定理
例1 求半径为 R的球面均匀带电荷Q时的电场分布。
dE
A
EA
dE
分析电场分布特点 结论一： E 的方向一定沿着径向；
r + dS+
+ + + +
+ +
+
+
dS
结论二：
+ + +
+
+ + r
EA EB EB
q内
0
q
R
q
E
讨论：
1）点电荷不在球面中心； 2）若为任意封闭曲面呢？ 3）若点电荷在封闭曲面外呢？ 4）若封闭曲面内有多个点电荷呢？
§7-3 静电场的高斯定理
E dS
S
q
0
i内
说明： （1） s E dS 取决于 qi内 E 取决于空间所有电荷分布；
B
在以球心为圆心 的球面上，电场强 度大小相同。
§7-3 静电场的高斯定理
高斯面
+
+ + + + + + + +
+
+ +
+
+
+ + + + + + +
+
+ +
+ + + + +
r
r
+ + +
E |r R
Q r 3 4 0 r
E |r R 0
半径为R的球面均匀带电荷Q时的电场分布。
q
§7-3 静电场的高斯定理
[例3] 将电荷为q 的点电荷放置于半径为R的 圆盘的中轴线上， 距离圆盘中心为z， 求圆盘上的电通量。
q
z
O
R
q Φ [1 2ε0
z z R
2 2
]
§7-3 静电场的高斯定理
[例4] 将电荷为q的点电荷放 置于底面半径为R的锥体内， 并位于中轴线上，距离底面 为z，求侧面的电通量。
(2) E n θ
§7-3 静电场的高斯定理
2、电场中任一曲面的电通量
dS

E
§7-3 静电场的高斯定理
3、电场中任一闭合曲面的电通量
规定：闭合曲面的“外法向”为“正方向”
dS
dS θ
E2
1
E1
§7-3 静电场的高斯定理
例1 以点电荷为球心, 半径为R的球面的电通量。 结果：
解：电荷分布具有轴对称，作同轴的封闭圆柱面
l -
+ + + +
R1
R2
q内 由高斯定理： SE dS 0 E dS E dS E dS E dS E 2rl
上 下 侧 侧
为高斯面，底面半径为r，高度为l。
半径为R、均匀带电荷Q的均匀带电球体的电场分布
r
R
E
E
Qr 4o R 3 Q 2 4o r
r R
r R
0
R
r
§7-3 静电场的高斯定理
例3 求电荷线密度为 的无限长均匀带电直线的电场。
分析电场分布特点： 结论一：
P
E的方向一定沿着垂直于
直线的方向 EA
O
Q B
A
结论二：
E2 r2 3 0
R1
a
C1
C2
r1
R2
r2
E1
P
E2
E
E1 r1 3 0

2、电场叠加原理
E E1 E 2
E a 3 0
§7-3 静电场的高斯定理
[例1] 若将电荷为q的点电荷置于立方体的中央， 求每个面上的电通量。
§7-3 静电场的高斯定理
【电场线】形象描述电场的一簇虚拟有向曲线。
EA B
A
EB
规定：对电场线上任一点 切向 密疏
E 的方向 E 的大小 E A E B
§7-3 静电场的高斯定理
几种典型带电体的实验场线（左）与理论场线（右） 无 穷 远
点电荷
正、负点电荷
一对等量异号点电荷
一对等量异号点电荷
（2）意义 ——表明静电场是有源场。
（3）高斯定理源于库仑定律， 但又高于库仑定律。
q1 q2
q3
p
S
q4
qN
§7-3 静电场的高斯定理
解题步骤
①对称性分析，确定 E 的大小及方向分布特征
②作高斯面，计算电通量及 ③利用高斯定理求解 选取高斯面的技巧：