初中数学几何最值问题面面观
在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量
（如线段的长
度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差 ）的最大值或最小值问题，称为几何最 值问题•近年来，各地中考题常通过几何最值问题考查学生的实践操作能力、空间想象能力、 分析问题和解决问题的能力 •本文针对不同类型的几何最值问题作一总结与分析，希望对大 家有所帮助•
最值问题的解决方法通常有如下两大类
： 一、应用几何性质
1•三角形的三边关系
例1如图1， MON 90，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ,ON 上•当分
在边ON 上运动 时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保 持不变， 其中 AB 2,BC 1，运动过程中，点 D 到点0的最大距离为（
QOD OE DE ,
OE AE 丄 AB 1.DE 2
..AD 2 AE 2 、12 12
0D 的最大值为 2
1.
故选A.
2•两点间线段最短 2cm,高为9 cm ，点A, B 分别是回柱两底面圆周上的点, 当O,D,E 三点共线时，点 D 到点0的距离最大，此时, AB 2,BC 1 ,
(A) 、、2 1
(B)
分析如图1,取AB 的中点
E ，连结 OE,DE,OD .
例2如图2，圆柱底面半径为 且A,B 在同一母线上，用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3圈到B ，求棉线长度最短
分析 如图3,将圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线的长度，第一条斜线与底面 回周长、圆柱的三分之一高组成直角三角形
由周长公式知底面圆一周长为
4 cm ，圆柱的三分之一高为 3 cm ，根据勾股定理，得
一条斜线长为5 cm ，根据平行四边形的性质，棉线长度最短为 15 cm. 3.垂线段最短
例3如图4，点A 的坐标为（1,0），点B 在直线y X 运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为（ ）
1 1 (A)(0,0)
(B)(-,-) 2 2 (C)(子, （D ）（乎,
分析 如图4,过点A 作
AB' OB
，垂足为点B'，过B'作B'C x 轴，垂足为C . 由垂线段最短可知，当 B'与点B 重合时，AB 最短.
T 点B 在直线y x 上运动，
••• VAOB'是等腰直角三角形
••• VB'CO 为等腰直角三角形
•••点A 的坐标为（1,0）,
1 1 1 OC CB' OA 1 -,
2 2 2
一1 1
B的坐标为（?，）
2
•当线段AB 最短时，点B 的坐标为（1, -1）
2 2
故选B.
4•利用轴对称 例4 如图5，正方形 ABCD , AB 4 , E 是BC 的中点，点P 是对角线 AC 上一动 点，贝U PE PB 的最小值为 ___________________ .
分析连结DE ，交BD 于点P ，连结BD .
•••点B 与点D 关于AC 对称，
••• DE 的长即为PE PB 的小值
Q AB 4, E 是BC 的中点，
CE 2
在RtVCDE 中
二、代数证法
1•利用配方法
例5如图6是半圆与矩形结合而成的窗户， 如果窗户的周长为 8米，怎样才能得出最 大面积，使得窗户透光最好 ？
8 2x y 2
若窗户的最大面积为
S 2xy 1 x 2 2
把①代入②，有
8 2x
S 2xg § -DE 、CD 2 CE 2 .42 22 2 5
分析 设x 表示半圆半径，
y 表示矩形边长 AD ，则有2x 2y x 8,
曰 是S ,则
8 4
32
4 上式中，只有x —时，等号成立 4
这时，由①有
y (8
即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大 2•利用一元二次方程根的判别式
1 2
例6已知：x 0， y 0且 1，求2x y 的最小值.
x y
解令 2x y t ， y t 2x 1 2
x t 2x
去分母，整理，得 2x 2 tx t 0 ••• x 为实数，
V t 2 8t 0
t 8 或 t 0
••• x 0, y 0
t 8.
故2x y 的最小值为8.
8x x 2 2x 2
8x (2尹2
(x )2 32 4~~。