1. 电磁场能量守恒定律的推导应用麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t DJ H B tBE D 0ρ和洛仑兹力公式B v E f ⨯+=ρρ及v Jρ=，结合公式E H H E H E ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为E v v B v E v f ⋅=⋅⨯+=⋅ρρρ)(Et D H E J⋅∂∂-⨯∇=⋅=)( Et D E H⋅∂∂-⋅⨯∇=)( []Et D H E H E⋅∂∂-⋅⨯∇+⨯⋅∇-=)()( Et D H t B H E⋅∂∂-⋅∂∂-⨯⋅-∇=)(令H E S⨯=H t B E t D t w⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂对应的积分形式为注释:对于各向同性线性介质，H B E D με==,，由H t B E t D t w⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂给出能量密度为)(21B H D E w ⋅+⋅=而H E S⨯=为能流密度矢量，或称为坡印亭（Poynting ）矢量。

************************************************练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试由两个高斯定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。

2. 静电势ϕ满足泊松方程的推导对于各向同性线性介质，将E D ε=，ϕ-∇=E代入f D ρ=⋅∇ 得f E E E ρϕεϕεεεε=∇-∇⋅-∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇2)(即ρϕεεϕf -=∇⋅∇+∇12对于均匀介质, 有0=∇ε此即为静电势ϕ满足的泊松（poisson ）方程，其中fρ为自由电荷体密度。

注释:当0=∇ε，或E⊥∇ε时，均有0=∇⋅∇ϕε，ϕ仍满足泊松方程。

3. 静电场能量公式的推导在线性介质中，电场总能量为⎰∞⋅=dVD E W 21 对于静电场，利用ρϕ=⋅∇-∇=D E,给出ρϕϕϕϕϕ+⋅-∇=⋅∇-⋅∇-=⋅-∇=⋅)(])([D D D D D E所以⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞+⋅-=+⋅∇-=⋅dV s d D dV dV D dV D E ρϕϕρϕϕ)( 又=⋅⎰∞s d D ϕ，故注释:（1）电场能量分布于空间电场中。

在静电情形下，电场决定于电荷分布，场内没有独立的运动，因而静电场的总能量可以由电荷分布决定。

（2）ρϕ21不能视为静电场能量密度，上式只对静电场的总能量才有意义（因为静电能不是分布在电荷上）。

（3）静电相互作用能为⎰∞=dVW e i ρϕ，其中e ϕ为外电场的电势。

4. 静磁场矢势A满足微分方程的推导因为0=⋅∇B ，有A B⨯∇=。

对于各向同性线性介质，将B H =及A B ⨯∇=代入静磁场方程J H=⨯∇，得)(1)(111)1(A A B B B ⨯∇⋅∇+⨯∇⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇μμμμμJA A A =∇-⋅∇∇+⨯∇⋅∇=])([1)(12μμ运用库仑条件0=⋅∇A，经整理给出JA A μμμ-=⨯∇⋅∇-∇)(12对于均匀介质, 有1=∇μ,上式给出J A μ-=∇2)0(=⋅∇A此即为静磁场矢势A满足的微分方程，其中J 为传导电流体密度。

注释:当1=∇μ，或B⊥∇μ1时，均有0)(1=⨯∇⋅∇A μ，此时A 仍满足上述方程。

5. 静磁场能量公式的推导在线性介质中，磁场总能量为⎰∞⋅=dVH B W 21 对于静磁场，结合公式A H H A H A⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(,应用磁场方程J H A B=⨯∇⨯∇=,可给出J A H A H A H A H A H B⋅+⨯⋅∇=⨯∇⋅+⨯⋅∇=⋅⨯∇=⋅)()()()(所以⎰⎰∞∞⋅+⨯⋅∇=dVJ A dV H A W21)(21⎰⎰∞∞⋅+⋅⨯=dV J A s d H A21)(21 又0)(=⋅⨯⎰∞s d H A，故注释:（1）磁场能量分布于空间磁场中。

在静磁场情形下，磁场决定于稳恒电流的分布，因而静磁场的总能量可由电流分布决定。

（2）JA ⋅21不能看作为静磁场的能量密度，上式只对静磁场的总能量才有意义（因为磁能不是分布在电流上）。

（3）J 在外磁场e A 中的相互作用能为⎰⋅=dV A J W e i 。

6. 磁标势m ϕ满足的微分方程的推导在0=J 的区域内（且⎰=⋅L l d H 0），静磁场方程为⎩⎨⎧=⋅∇=⨯∇00B H对介质方程)(0M H B+=μ的两边取散度，得M H ⋅-∇=⋅∇令磁荷密度为0m M ρμ=-∇⋅代入静磁场方程给出（以H为基本量----磁荷观点）：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∇=⨯∇）（）（2...........................1...................................00μρm H H由（1）式引入磁标势m ϕm H ϕ-∇=代入（2）式，则得磁标势m ϕ7. 波动方程的推导以真空情况为例加以推导。

由无源)0,0(==J fρ麦克斯韦方程组出发⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇)4(............................................................)3..(......................................................................0)2....(............................................................)1..(......................................................................000t EB E tB E Bεμ运用公式B B B E E E 22)()(,)()(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ 对(2)式取旋度，并应用第(3)、(4)式得2200)()(t EB t E ∂∂-=⨯∇∂∂-=⨯∇⨯∇ εμ则220020E E t με∂∇-=∂同理，对(4)式取旋度，并用第(1)、(2)式得()()200002BB E t t μεμε∂∂∇⨯∇⨯=∇⨯=-∂∂则220020BB t με∂∇-=∂令c =注释:在介质中，对于一定频率ω的电磁波，上述波动方程成为其中波速)()()()()(1)(ωωμωεωμωεωn c cv r r ===8. 亥姆霍兹方程的推导[方法一]对于一定频率的时谐电磁波，有H B E Dμε==,。

设电磁场量的形式为 )exp()(),(t i x E t x E ω-=)exp()(),(t i x B t x B ω-=则有代换关系ωi t -→∂∂，此时无源区域的麦克斯韦方程组成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯∇=⋅∇=⨯∇=⋅∇)4(.....................)3(.................................0)2(...........................)1(.................................0E i B B B i E Eωμεω① 对（2）式两边取旋度，并利用（1）、（4）式得B i E⨯∇=⨯∇⨯∇ω)(E E E μεω22)(=∇-⋅∇∇ 022=+∇E E μεω即电场E满足的亥姆霍兹方程为)0(022=⋅∇=+∇E E k E其中波数λπωεμω2===vk 。

由此式解出E后，进一步便可由（2）式得到磁场：EiB ⨯∇-=ω。

② 同理，对（4）式两边取旋度，并利用（2）、（3）式，可得磁场B满足的亥姆霍兹方程为)0(022=⋅∇=+∇B B k B进一步由（4）式可给出：BiE ⨯∇=ωμε。

注释:（1）上述推导过程给出两种研究电磁波的途径；（2）0,0=⋅∇=⋅∇B E为横波条件。

--------------------------------------[方法二]对于一定频率的时谐电磁波，设电磁场量的时空变量分离形式为)exp()(),(t i x E t x E ω-=)exp()(),(t i x B t x B ω-=利用代换关系ωi t -→∂∂，由波动方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∇=∂∂-∇01012222222t Bv B t E v E可以直接给出⎪⎩⎪⎨⎧=+∇=+∇002222B k B E k E此即为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。

9. 平面电磁波性质的推导对于平面波)](exp[),(0t x k i E t x E ω-⋅=有k i →∇，并且ωi t -→∂∂。

结合H B E D με==,，此时不含源的麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t EB B t BE Eμε成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯=⋅=⨯=⋅）（）（）（）（4..........................................3.....................................................02.................................................1......................................................0E B k B k B E k E kωμεω 其中（1）式、（3）式表明k B k E⊥⊥,；而由（2）式或（4）式给出或n B v E ⨯=，所以0)(1=⨯⋅=⋅E n E v B E。

由此给出平面波的性质为：①k B k E ⊥⊥、，即电磁波为横电磁（TEM ）波； ②B E ⊥，并且),,(k B E 三者组成右手系；③B E、同相位； ④B E、大小成比例，vB E =。

注释:（1）因为)](exp[)]}(exp[{),(00t x k i E t x k i E t x E ωω-⋅∇⋅=-⋅⋅∇=⋅∇),()(t x E k i x k i E ⋅=⋅∇⋅=；同样可得E k i E⨯=⨯∇，即相当于k i →∇（2）对于平面波，因为BvB E εμ1==，所以221B E με=，即电场能量密度等于磁场能量密度m e w B E w ===222121με；并且n vw S =，其中m e w w w +=。

10. 导体中自由电荷随时间变化规律的推导设导体内有自由电荷ρ分布，在均匀介质中激发的电场E 满足方程ερ=⋅∇E, 而欧姆定律为J E σ=,所以 σρ=⋅∇J此外，运用电荷守恒定律 t J ∂∂-=⋅∇ρ给出ρεσρ-=dt d其中0ρ为0=t 时的电荷分布。