《电动力学》理论证明集锦为了扩充学生知识面，强化理论体系的证明与验证过程，巩固已学知识。

在此编撰了与《电动力学》课程相关的20余条理论证明内容，有的是基础理论，但大部分是扩展内容。

第一章 电磁现象的普遍规律1. 试证明通过任意闭合曲面的传导电流、极化电流、位移电流、磁化电流的总和为零。

[证明]设传导电流、磁化电流、极化电流、位移电流分别为d P M fJ J J J 、、、,由麦克斯韦方程之一(安培环路定理)给出)(0d P M f J J J J B对方程两边作任意闭合曲面积分，得)()()(00d P M f Sd P M f SI I I I S d J J J J S d B即给出总电流为VSd P M fdVB S d B I I I II )(1)(1因为矢量场的旋度无散度:0)( B，故0 I--------------------------------------2. 若m是常矢量，证明除R=0点以外，矢量3R R m A 的旋度等于标量3R R m 的负梯度，即 A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

[证明]在0 R 的条件下，有)1(R m AR m R m m R m R 1)(1)()1()1(R m 1)(另一方面)1(R mmR m R R m R m)1()(11)()1( R m 1)(经比较以上两式的右边，便可给出 A的答案。

注释:本题中所见的矢量和标量的形式在《电动力学》内容中有多处出现，开列如下供参考（注意比较相同、相异之处）：（1）电偶极矩P 激发的电势：3041R R P；（2）磁偶极矩m 产生的磁标势：341R R m m； （3）磁偶极矩m产生的磁矢势：304R R m A 。

--------------------------------------3．试由电场积分公式VV d rrx x E 3)(41)(出发，证明E 。

[证明]因为)(412x x r ，)(41)1()(23x x r r r r，得到V V V d r r x V d r r x x E )()(41])([41)(3030VV d x x x )()](4[410根据)(x x函数的挑选作用，给出 0E--------------------------------------4．试由毕奥-萨伐尔定律V V d r rx J x B 30)(4)(出发，证明J B 0 。

[证明][方法1：间接积分计算]V d r x J V d r r x J x B V V1)(4)(4)(030Ar V d x J V])(4[0 其中：Vr V d x J A )(40。

直接计算可得0)( A B。

以下进一步计算A A A B 2)()( ，分两步运算：①计算)(A ：V 1)(4V 1)(400 d r x J d r x J AV d r x J 1)(400)(141)(400 V d x J r V d r x J V其中第一项因为：01)(41)(400S V s d r x J V d r x J ；第二项运用稳恒电流条件0)( x J，结果也为零。

②计算A2：)()(4)(41)(400202x J V d x x x J V d r x J A最终得到：J B[方法2：直接积分计算]利用毕奥-萨伐尔定律直接作积分计算L v L l d V d r rx J l d B])([430]))([430l d r rx J V d v L （交换积分次序）])1()([40l d r x J V d v L（利用31r r r） 注意0)( x J ，则r x J x J r x J r r x J 1)()(1)(1)(，有 ]))(([40l d r x J V d l d B v L L}])([{40S d r x J V d v S（运用斯托克斯公式）})(])([{420 v S r x J r x J V d S d（交换积分次序）})()({420 v v S r x J V d r x J V d S d}1)()({420r x J V d S d r x J S d v S S其中第一项用了奥高积分变换公式、第二项用了2运算与x 无关。

注意到0)(SS d r x J，进一步有]1)([420r x J V d S d l d B v S L)]()([0x x x J V d S d vSSSd x J )(0化成微分式得J B 0[方法3：直接微分计算]利用公式B A B A B A )()()( 和关系)(4)(3x x r r ，直接计算V d r rx J x B V])([4)(30V d x J r r r r x J V )]())(([4330 因为0)( x J（求导与函数变量无关），故V d x x x J V d r rx J x B V V ])()([]))(([4)(030 利用)(x x函数的挑选作用，给出)()(0x J x B--------------------------------------5．试证明在均匀电介质中存在关系frp )11(。

[证明]因为DDE E E P r e)1()()()1(00000，并且f D，r =常数，所以frp D P)11()1(0--------------------------------------6．试证明在均匀磁介质中存在关系f r MJ J )1( 。

[证明]因为H H M r m)1( ，并且f J H ,r =常数，所以f r r M J H M J )1()1(--------------------------------------7．证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）。

[证明]（1）两个电流元之间的相互作用力不服从牛顿第三定律。

设两电流元2211dV J 、dV J 相距||||2112r r，根据毕奥-萨伐尔定律给出：电流元1在电流元2处产生的磁场为13121210124dV r rJ B d同样，电流元2在电流元1处产生的磁场为23212120214dV r r J B d其中2121r r 。

22dV J 11dV J 12r应用安培力公式B dV J F d，给出电流元1对电流元2的作用力、电流元2对电流元1的作用力分别为2131212120122212)(4dV dV r r J J B d dV J F d2132121210211121)(4dV dV r r J J B d dV J F d虽然2121r r、2121r r ，但一般情况下，)()(21211212r J J r J J ，即 2112F d F d，因此两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律。

其原因是，不存在两个独立的电流元，只存在闭合回路。

（2）两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力满足牛顿第三定律。

方法1：（场）电流圈1（闭合回路1整体）在电流元2处激发的磁场为113121211012124L L r r l d I B d B电流元2（电流圈2上的抽样）所受的磁力为1312121122012224L r r l d I l d I B l d I131212211122210)()(4L r r l d l d l d r l d I I进一步，电流圈1对电流圈2（整体两闭合回路）的作用力为213121221112221012)()(4L L r r l d l d l d r l d I I F其中第一项的积分为][4)(4231212121013121222102121l d r r l d I I l d r r l d I I L L L L0])([4231212121021S d r r l d I I S L这里对回路2的积分应用了斯托克斯公式，2S是以闭合回路2L 为周界的任意曲面，且应用了0)1(1231212 r r r的结果。

所以21312122121012)(4L L r r l d l d II F同理可得21321212121021)(4L L r r l d l d I I F比较以上两式，且注意到2121r r，可得2112F F 。

方法2：（力）依据电流元1对电流元2的作用力3121212210122212)(4r r l d l d I I B d l d I F d31212121122210)()(4r r l d l d l d r l d I I给出电流圈1（闭合回路1整体）对电流元2的作用力为13121221112221012)()(4L r r l d l d l d r l d I I F进一步，给出电流圈1对电流圈2（两个闭合回路整体）的作用力为2121312122111222101212)()(4L L L L r r l d l d l d r l d I I F d F其余运算同前（从略）。

综上可见，虽然两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律，但两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力是满足牛顿第三定律的。

--------------------------------------8．已知一个电荷系统的偶极距定义为V d x t x t P V),()( ，利用电荷守恒定律0 t J 证明P的变化率为V d t x J dt Pd V ),([证明]因为并矢的散度为x J x J x J)()()(,两边作积分得V d x J V d x J x J VV)(])()([其中J 是x的函数。

所以V d x J V d x t t x dt Pd V V)(),(VV d x J x J )]()[(VSS d x J V d x J)()(又J x J )(，0)( S d x J S ，故V d t x J dt Pd V ),(第二章 静电场9．简略证明矢量场的唯一性定理。

[证明]假定有两个矢量场21A A均满足定解条件，即)2,1()(|,, j S f A J A A S jn j j引入差函数21A A A，则0)(,0)(2121 A A A A A A可见A 无旋，引入对应的势函数 A ，代入A 的散度方程给出0)(2 A即势函数满足拉普拉斯方程，且在S 面上0|)(|21 S n n S n A A A将以上结果代入格林第一公式Sd dV SV])([22得到dSA S d dV n SSV2)(因为0| S n A ，所以0)(2 dV V。