1.7. 有一内外半径分别为 r 1 和 r 2 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止由电荷f ρ求 1 空间各点的电场；2 极化体电荷和极化面电荷分布。

解（1）fsD ds dV ρ→⋅=⎰⎰， （r 2>r> r 1）即：()2331443fD r r r ππρ⋅=-∴()33133f r r E r rρε→-=， （r 2>r> r 1）由()3321043ff sQ E d s r r πρεε⋅==-⎰， （r> r 2） ∴()3321303f r r E r r ρε→-=， （r> r 2）r> r 1时， 0E = （2）()00000e P E E E εεεχεεεε-===- ∴ ()()()3331010330033303p f f f fr r r P r r r r r εερεερρεεεεεερρεε⎡⎤-⎛⎫-⎢⎥=-∇⋅=--∇⋅=-∇⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--=--=- （r 2>r>r 1）12p n n P P σ=-考虑外球壳时， r= r 2 ，n 从介质 1 指向介质 2 （介质指向真空），P 2n =0()()23333102110332133p n f f r r rr r r P rr r εσεερρεε=--⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ 考虑内球壳时， r= r 1()()13310303p f r r rr rr σεερε=-=--=1.11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 l 1 和l 2，电容率为ε1和ε，今在两板接上电动势为 Ε 的电池，求 （1） 电容器两板上的自由电荷密度ωf （2） 介质分界面上的自由电荷密度ωf若介质是漏电的，电导率分别为 σ 1 和σ 2 当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向则11221211220(0)n n f l E l E E D D E E εεσ-=⎧⎪⎨-=-==⎪⎩介质表面上 故：211221EE l l εεε=+，121221EE l l εεε=+又根据12n n f D D σ-=， （n 从介质1指向介质2） 在上极板的交面上，112f D D σ-= 2D 是金属板，故2D =0即：11211221f ED l l εεσεε==+而20f σ=3122f D D D σ'''=-=-，（1D '是下极板金属，故1D '=0）∴31121221f f El l εεσσεε=-=-+若是漏电，并有稳定电流时，由jE σ=可得111j E σ=， 222j E σ=又1212121212,()nn j j l l E j j j j σσ⎧+=⎪⎨⎪===⎩稳定流动得：121212E j j l l σσ==+ ，即1211122121221221j E E l l j E E l l σσσσσσσσ⎧==⎪+⎪⎨⎪==⎪+⎩1231221f E D l l εσσσσ==+上22212219f ED l l εσσσσ=-=-+下2112231221f D D E l l εσεσσσσ-=-=+中1.14、内外半径分别a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度电荷为f λ，板间填充电导率为σ的非磁性物质。

（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。

（2）求f λ随时间的衰减规律。

（3）求与轴相距为r 的地方的能量功耗功率密度。

（4）求长度为l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的能减少率。

（1）证明：由电流连续性方程：0f J tρ∂∇⋅+=∂根据高斯定理 f D ρ=∇⋅∴0DJ t∂∇⋅∇⋅+=∂, 即：0D J t →∂∇⋅+∇⋅=∂ ∴()0D J t ∂∇⋅+=∂， ∴0DJ t∂∴+=∂，即传导电流与位移电流严格抵消。

（2）解：由高斯定理得：2f D rdl dl πλ⋅=⎰⎰,22f f r r D e E e r r λλππε∴== 又0DJ t∂+=∂，J E σ=,D E ε= 00,t E E E E e tσεσε∂∴+==∂22t r fr r e e e r rσελλπεπε-∴= 0tf f eσελλ-∴=（3）解：0()22t f fD J e t t r rσελλσπεπ-∂∂=-=-=⋅∂∂ 能量耗散功率密度=2221()2f J J rλρσσπε== （5）解：单位体积2dV l rdr π=⋅222()222bf f a l bP l rdr In r aλσλσππεπε==⎰ 静电能W=2211122222bb f f aa l l bD EdV dr In r aλλπεπε⋅==⋅⋅⎰⎰减少率2222f f f l l W b b In In t a t aλλλσπεπσ∂∂-=-⋅=∂∂ 例1.一个内径和外径分别为R 2和R 3的导体球壳，带电荷Q ，同心地包围着一个半径为R 1的导体球（R 1 <R 2）.使这个导体球接地，求空间各点的的电势和这个导体球的感应电荷。

解 这个问题有球对称性，电势ϕ不依懒于角度θ和φ，因此可以只取1()(cos )n nn n n nb a R P R ϕθ+=+∑中n=0项。

设导体壳外和壳内的电势为 13,()ba R R R ϕ=+>(1) 221,()dc R R R Rϕ=+>> (2)边界条件为：（1）因内导体球接地，故有121||0R R R ϕϕ=→∞== (3) （2）因整个导体球壳为等势体，故有1321||R R R R ϕϕ=== (4)（3）球壳带总电荷Q ，因而3222120R R R R QR d R d R R ϕϕε==∂∂-Ω+Ω=∂∂⎰⎰ (5) 把（1）、（2）代入这些边界条件中，得12300,0,,4da c R db Qc bd R R πε=+=+=-=由此解出11000,,444Q Q Q d b πεπεπε==+ (6) 1014Q c R πε=,其中131111123R Q Q R R R ----=--+ 把这些值代入（1）、（2）中，得出电势的解113022101,()411().()4Q Q R R R Q R R R R R ϕπεϕπε+=>=->>导体球上的感应电荷为12201R R R d Q R ϕε=∂-Ω=∂⎰ 例4 导体尖劈带电势V ，分析它的尖角附近的电场。

解 用柱坐标系。

取z 轴沿尖边。

设尖劈以外的空间，即电场存在的空间为02()θπαα≤≤-为小角。

因ϕ不依懒于z ，柱坐标下的拉氏方程为22211()0r r r r r ϕϕθ∂∂∂+=∂∂∂ （1） 用分离变量法解次方程。

设ϕ的特解为()()R r ϕθ=Θ则上式分解为两个方程2222222,0.d R dRr r R dr drd d ννθ+=Θ+Θ=其中ν为某些正实数或0.把ϕ的特解叠加得ϕ得通解0000()()()(cos sin ).A B Inr C D A r B r C D νννννννϕθνθνθ-=+++++∑各待定常量和ν的可能值都由边界条件确定.在尖劈0θ=面上，ϕ=V ，与r 无关，由此000,0,0(0).A C VBC νν====因0r ϕ→时有限，得00.B B ν== 在尖劈2θπα=-面上，有,V ϕ=与r 无关，必须00,sin (2)0,D νπα=-=因此ν得可能值为,(1,2......)2n nn ναπ==-考虑这些条件，ϕ可以重写为sin .n n n nV A r νϕνθ=+∑为了确定待定常量n A ，还必须用某一大曲面包围着电场存在的区域，并给定这曲面上的边界条件。

因此，本题所给的条件是不完全的，还不足以确定全空间的电场。

但是，我们可以对尖角附近的电场作出一定的分析。

在尖角附近，0r →，上式的求和的主要贡献来自r 最低幂次项，即n=1项。

因此，111sin ,V A r νϕνθ≈+ 电场为1111111111sin ,1cos .r E A r rE A r r ννθϕννθϕννθθ--∂=-≈-∂∂=-≈-∂尖劈两面上的电荷密度为000(0)(2)n E E E θθεθσεεθπα=⎧==⎨-=-⎩11011.A r νεν-≈-若α很小，有11,2ν≈尖角附近的场强和电荷密度都近似地正比于12.r -由此可见，尖角附近可能存在很强的电场和电荷面密度。

相应的三维针尖问题就是尖端放电现象。

2.7 在一很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体，使其中流着均匀的电流0f j ，今在液体中置入一个电导率为1σ小球，求稳恒时电流分布。

讨论1221σσσσ>>>>及两种情况下电流分布的特点。

解：维持电流恒定的电场也是静电场，可令E ϕ=-∇，由电流恒定条件0f J ∇⋅=，等两种介质都是线性均匀的，根据欧姆定律半径为0R ，令导电液中原电流密度02020f z J E E e σσ==。

问题就有z 轴对称性。

全部定解条件为：210ϕ∇= （R<0R ）；220ϕ∇= （R ＞0R ）R=0时， 1ϕ有限；R →∞时， 022cos f J R ϕθσ→-R=0R 时， 12ϕϕ=， 12R R J J =即1212R Rϕϕσσ∂∂=∂∂ （1） 由R=0和R →∞处的条件，可将两区域电势方程的解写为1(cos )n n n na R P ϕθ=∑ （2）021n2(cos )cos f nn n J b P R R ϕθθσ+=-∑（3） 将（2）和（3）代入（1），解出1123cos 2f J R ϕθσσ-=+()()30120222212cos cos 2f f J J R R Rσσϕθθσσσσ-=-++由()021R e E E ωε=⋅-，得球面的电荷密度：()()012021002123cos 2f R R J R R R σσεϕϕωεθσσ=-∂∂⎛⎫=-+= ⎪∂∂+⎝⎭ 球内1ϕ为原外场与球面电荷分布ω产生的均匀场之叠加;球外2ϕ的第一项是原外场，第二项是球面电荷产生的偶极场。

电流分布为：1011111123(2)f J J E σσσϕσσ==-∇=+30012022222053123()()(2)f f f J R R J R J E J R R σσσσϕσσ⎡⎤⋅-==-∇=+-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦当12σσ>>时，103f J J ≈，003200533()f f f J R R J J J R R R ⎡⎤⋅≈+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 当21σσ>>时，10J ≈，300020533()2f f f J R R J R J J R R ⎡⎤⋅≈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦2.8 半径为0R 的导体球外充满均匀绝缘介质0R ϕ→∞→，；ε，导体球接地，离球心为a 处()0a R >置一点电荷f Q ，试用分离变数法求空间各点电荷，证明所得结果与镜象法结果相同。