2011-2012学年下期高中数学必修综合测试题（四）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数1y x =-的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 2．直线30x y -=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π3．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,4,6,8A =，{}1,2,3,6,7B =，则()U A B = ð（ ） A ．{}2,4,6,8 B ．{}1,3,7 C ．{}4,8 D ．{}2,64．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为（ ） A ．14、12 B ．13、12 C ．14、13 D ．12、145．在边长为1的正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为（ ）A ．4π B ．14π- C ．8π D ．18π- 6．已知向量a 与b 的夹角为120，且1==a b ，则－a b 等于（ ） A ．1 B ．3 C ．2D ．37．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm ），则该几何体的表面积．．．为（ ） A ．212cm π B. 215cm πC. 224c m π D. 236cm π 8．若23x <<，12xP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log Q x =，R x =，则P ，Q ，R 的大小关系是（ ） A ．Q P R << B ．Q R P << C ．P R Q << D ．P Q R <<9．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图像如图3所示，则函数)(x f 的解析式是（ ） A ．10()2sin 116f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．10()2sin 116f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 10．一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是 最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为（ ）A ．378 B ．34 C ．74D ．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．圆心为点()0,2-，且过点()14，的圆的方程为 ．12．如图4，函数()2x f x =，()2g x x =，若输入的x 值为3， 则输出的()h x 的值为 . 13．设不等式组0,02036x y x y x y -+-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为D ，若直线0kx y k -+=上存在区域D 上的点，则k 的取值范围是 ．14．若函数()()()2213f x a x a x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列．（1）求角B 的大小；（2）若()2sin 2A B +=，求sin A 的值．0 1 2 1 3 55 8 7 5 9 9 7 5 4 86 甲 乙图165主视图65侧视图俯视图图21 Oxy 1112π图3 否是开始 ()()h x f x = ()()f xg x >输出()h x 输入x结束 ()()h x g x =图416．（本小题满分12分）某校在高二年级开设了A ，B ，C 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A ，B ，C 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人） （1）求x ，y 的值；（2）若从A ，B 两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组B 的概率． 17．（本小题满分14分）如图5，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，点E 是PD 的中点．（1）求证：PB 平面ACE ；（2）若四面体E ACD -的体积为23，求AB 的长．18．（本小题满分14分）已知数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 19．（本小题满分14分）直线y kx b =+与圆224x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S （其中O 为坐标原点）．（1）当0k =，02b <<时，求S 的最大值； （2）当2b =，1S =时，求实数k 的值． 20．（本小题满分14分）已知函数()213f x ax x a =+-+()a ∈R 在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围．兴趣小组 小组人数 抽取人数A 24 xB 363C48y ABCDPE图52010学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号 1 23 4 56 78 9 10答案D B C A A B C D C B二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．11．()22225x y ++=（或224210x y y ++-=） 12．913．()0,+∞（或[)0,+∞） 14．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，三、解答题15．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分． 解：（1）在△ABC 中，A B C π++=，由角A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+．解得3B π=．（2）方法1：由()2sin 2A B +=，即()2sin 2C π-=，得2sin 2C =．所以4C π=或34C π=． 由（1）知3B π=，所以4C π=，即512A π=． 所以5sin sinsin 1246A πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭sincoscossin4646ππππ=+23212222=⨯+⨯ 264+=． 方法2：因为A ，B 是△ABC 的内角，且()2sin 2A B +=， 所以4A B π+=或34A B π+=．由（1）知3B π=，所以34A B π+=，即512A π=．以下同方法1． 方法3：由（1）知3B π=，所以2sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 即2sin coscos sin332A A ππ+=． 即132sin cos 222A A +=． 即3cos 2sin A A =-．即223cos 222sin sin A A A =-+． 因为22cos 1sin A A =-，所以()2231sin 222sin sin A A A -=-+．即24sin 22sin 10A A --=．解得26sin 4A ±=． 因为角A 是△ABC 的内角，所以sin 0A >．故26sin 4A +=．16．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分．解：（1）由题意可得，3243648x y==， 解得2x =，4y =．（2）记从兴趣小组A 中抽取的2人为1a ，2a ，从兴趣小组B 中抽取的3人为1b ，2b ，3b ，则从兴趣小组A ，B 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共10种．设选中的2人都来自兴趣小组B 的事件为X ，则X 包含的基本事件有()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共3种．所以()310P X =． 故选中的2人都来自兴趣小组B 的概率为310．17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分．（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，因为ABCD 是正方形，所以点O 是BD 的中点． 因为点E 是PD 的中点，所以EO 是△DPB 的中位线．所以PB EO ．因为EO ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， 所以PB 平面ACE ．（2）解：取AD 的中点H ，连接EH ， 因为点E 是PD 的中点，所以EH PA ． 因为PA ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ． 设AB x =，则PA AD CD x ===，且1122EH PA x ==． 所以13E ACD ACD V S EH -∆=⨯ 1132AD CD EH =⨯⨯⨯⨯ 3111262123x x x x === ． 解得2x =．故AB 的长为2．18．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分． 解：（1）因为数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． 因为数列{}n b 的前n 项和2n S n =．所以当2n ≥时，1n n n b S S -=-()22121n n n =--=-，当1n =时，111211b S ===⨯-， 所以数列{}n b 的通项公式为21n b n =-． （2）由（1）可知，1212n n n b n a --=． 设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ， 则 213572321124822n n n n n T ----=++++++ ， ① 即 111357232122481622n n n n n T ---=++++++ ， ② ①－②，得2111112111224822n n nn T --=++++++- 11121211212n nn -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+-- ABC DP E OH2332nn +=-， 所以12362n n n T -+=-． 故数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12362n n -+-．19．本小题主要考查直线与圆、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分． 解：（1）当0k =时，直线方程为y b =，设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由224x b +=，解得2124x b =±-，，所以22124AB x x b =-=-．所以12S AB b =24b b =- 22422b b +-=≤．当且仅当24b b =-，即2b =时，S 取得最大值2．（2）设圆心O 到直线2y kx =+的距离为d ，则221d k =+．因为圆的半径为2R =，所以2222244211AB k R d k k =-=-=++． 于是222241212111k k S AB d k k k =⨯=⨯==+++，即2410k k -+=，解得23k =±．故实数k 的值为23+，23-，23-+，23--．20．本小题主要考查二次函数、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分14分． 解法1：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点． 当0a ≠时，函数()f x 在区间[]1,1-上有零点分为三种情况： ①方程()0f x =在区间[]1,1-上有重根， 令()14130a a ∆=--+=，解得16a =-或12a =． 当16a =-时，令()0f x =，得3x =，不是区间[]1,1-上的零点． 当12a =时，令()0f x =，得1x =-，是区间[]1,1-上的零点． ②若函数()y f x =在区间[]1,1-上只有一个零点，但不是()0f x =的重根， 令()()()114420f f a a -=-≤，解得102a <≤． ③若函数()y f x =在区间[]1,1-上有两个零点，则()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<-<->++-=∆>.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 或()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<-<->++-=∆<.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 解得a ∈∅．综上可知，实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．解法2：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．当0a ≠时，()213f x ax x a =+-+在区间[]1,1-上有零点⇔()231x a x +=-在区间[]1,1-上有解⇔213xa x -=+在区间[]1,1-上有解． 问题转化为求函数213xy x -=+在区间[]1,1-上的值域．设1t x =-，由[]1,1x ∈-，得[]0,2t ∈．且()2013ty t =≥-+．而()214132ty t t t==-++-． 设()4g t t t=+，可以证明当(]0,2t ∈时，()g t 单调递减． 事实上，设1202t t <<≤， 则()()()()121212121212444t t t t g t g t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由1202t t <<≤，得120t t -<，1204t t <<，即()()120g t g t ->． 所以()g t 在(]0,2t ∈上单调递减． 故()()24g t g ≥=． 所以()1122y g t =≤-．故实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。