解 a n： S nS n 1(n2 ) a nn 2 2 n (n 1 )22 (n 1 )2 n 3(n2 （ )* ）
又当 n1时， a1 S1 1适合 (*) an 2n3，此a时 n1an 2 an为等差数 . 列
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思考 :若此题S改 n n为 22n2, 试判断{a数 n}是 列否成数 等列 ?差
解 :由题意得 :
a1 S1 1, a2 1, a3 3 而2a2 a1 a3 ,
故{an }不成等差数列.
事实a上 n 12， n3
n1 n2
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评注：
1.利用 an S n S n1 (n 2)解题时 一定 要注意 验 证 a1是否适合通项公式 .
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例3:设等差{数 an}的 列前 n项和S为 n, 若a5 5a3,则SS95 ______
解：
9(a1 a9)
S9 2 9a5 959
S5 5(a1a5) 5 a3 5
2
评注：S在n
a1
an 2
n中可利用性质
将a1 an转换成数列中另外之两和.项
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例4:若数{a列 n}为等差数列 Sp ， Sq,且
(pq, p,qN) 求Spq
解:
Sp
Sq pa1
Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列？ 。如何证
略证S：k a1
ak 2
k
(1)
S2kSk
ak1

ak2
a2k
ak1 a2k 2
k
(2)
(S31k )(S23k得 )a2S k： k 12a(S 3k3kkS2k)k 2a1aka2k(13)a3k
解：由推广的通项公 知式 ：
a6 a2 4d 8 d 2 a14 28
a7
a8
a21

a7
a21 2
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a1415 2815 420 评注1.已 ：知等差数列的 可某 直两 接项 求d公差
2.求等差数列部分 时项 可的 灵和 活使用前
n项和公式a（ 7看把 成首项）
3. 点列 ( n , S n )均落在直线上 . n
9
一、基础知识回顾
（四）等差数列的性质
1.在等差数a列 n中，
若mn pq,m,n, p,qN 则am an ap aq, 特别地：m若 n2p则aman 2ap
思考：p若 qn3m，
则ap aq an 3am成立吗正？确
2.掌握等差数列的通 式项 ，公 前 n项和公式的 推导方法，熟练掌 差握 数等 列的有关性质， 灵活运用公式及性 决质 与解 等差数列有关的 综合问题；
3.体会方程思想想 、、 函转 数化 思思想、数 结合思想等数法 学的 思运 想用 方。
4
一、基础知识回顾 二、重点题型解析
5
一、基础知识回顾
ana1(n1)d 推导方法：累加法
推广的通项an公 am式 (n： m)d
Sna1 2annn1a n(n 2 1)d
推导方法：倒序相加
8
评注：
1 .将等差数列问题化归为
基本
量的关系来解决是通用
的方法 .
2 .点列 ( n , a n )均落在直线上； 当公差 d 0时，点列 ( n , S n )均 落在抛物线上；
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等差数列的性质和应用
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等差数列的性质和应用
江苏省扬中高级中学 王成杰
审稿 镇江市教研室 黄厚忠 庄志红
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复习目标
1.理解等差数列项 、的 等概 差念 中，会利用 定义判定一个是 数等 列差 是数 否列；
再如S奇S偶 中间项的证明：
S奇a1a3a5a2n1 (1) S偶 a2a4a2n (2) (1)(2得 )S奇S偶a1ndan1中间项
评注：注意数列的项数对性质的影响.
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二、重点题型剖析
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（一）等差数列的判定与证明
例 1.设数{a列 n}的前 n项和 Sn n22n，试 判断数 {an}是 列否为等?差数列
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2.若 an是公d的 差等 为差 ,则 a数 2n和 列 a2n1也成等差数列
思考：在上述两个数列中，首项和公差 各是多少？
结论： a2n的 数 首 列 a2,公 项差 是 2d; 是 数a 列 2n 1的首 a1,公 项差 是 2d 是
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3.在等差 an数 中列 S， n是其 n项 前的k和 N， ,那么，
(2)若等差数列的项 2n数 1,为
则S奇 S偶

nn1,S奇S偶
中间项。
你会证明吗？
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（2）略证：S奇

a1

a3

a2n1

a1
a2n1 2

(n
1)
S偶

a2
a4
a2n

a2
a2n 2
n
而a1
a2n1

a2
a2n
，故 S奇 S偶

n 1 n
（一）等差数列的概念 如果一个数列从第二项起每，
一项减去它的前一项得所的差都是 同一个常数，那么这数个列就叫做 等差数列.
an 1and(n N )
6
一、基础知识回顾
（二）等差中项的概念 如果a、A、b这三个数成等差
数列，那么A ab叫做a和b的等 2
差中项.
7
一、基础知识回顾
（三）等差数列公的式通及项 n项 前和公式
2.要证明一个数列为等差 数列，要按
定义证明 .
3.要说明一个数列不成等 差数列，若能
有2a2

a1

a
即可
3
, 体现了特殊与一般
的数学思想 .
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（二）等差数列的性质及公式的应用
例 2:在等 { a n} 差 中数 a ， 24 ,a 列 6 若 1,2 求 a 7 a 8 a 2的 1 . 值
k 2a1a2k1aka3kak1a2kk2S2kSk
Sk,S2k Sk,S3k S2k成等差数列
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4.等差数列的奇、 数项 偶的 数项 和的和系 之： 间的
记奇数项之S奇 和 、为 偶数项之S偶 和为
（1）若等差数列的项数为2n，
则S偶 S奇 nd