圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）
知识梳理
浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平
圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、
圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。
一、有关圆的基础知识要点归纳
1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，
定长为半径.
2． 圆的标准方程

① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得0222rrbyax，
其中圆心坐标为ba,，半径为r；当0,0ba时，即圆心在原点时圆的标准方程为
222
ryx
；

② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意
义。
3． 圆的一般方程
①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，
022FEyDxyx0422FED
；
② 圆的一般方程的特点：（1）22,yx项系数相等且不为0；（2）没有xy这样的二次
项
③ 二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的必要条件是
0CA且0B
；
二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是
0CA

且0B且0422AFED
4． 圆的参数方程
圆的参数方程是由中间变量将变量yx,联系起来的一个方程.

① 圆心在原点，半径为r的圆的参数方程是：(sincosryrx为参数）；

② 圆心在ba,，半径为r的圆的参数方程是：(sincosrbyrax为参数）；
5． 确定圆方程的条件
圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个
独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适
当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件，
一般设圆的标准方程，即列出rba,,的方程组，求出rba,,的值，也可根据圆的特点直接

求出圆心ba,，半径r。当圆心位置不能确定时，往往选择圆的一般方程形式，由已知
条件列出FED,,的三个方程，显然前者解的是三元二次方程组，后者解的是三元一次方
程组，在运算上显然设一般式比标准式要简单。

6． 点与圆的位置关系
设圆222:rbyaxC，点00,yxM到圆心的距离为d，则有：
(1)rd点M在圆外； (2)rd 点M在圆上； (3)rd 点M在圆内．
7． 直线与圆的位置关系
设圆222:rbyaxC，直线l的方程为0CByAx（BA,不全为0），
圆心ba,，判别式为△，则有：
(1) 几何特征（数形结合）：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断
① rd 直线与圆相交；
② rd 直线与圆相切；
③ rd直线与圆相离；

(2) 代数特征：由直线方程与圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系
① △＞0有两组不同的实数解 直线与圆相交；
② △=0有两组相同的实数解 直线与圆相切；
③ △＜0无实数解 直线与圆相离.

(3) 直线与圆相交的弦长问题
①直线与圆相切时，要考虑过切点与切线垂直的半径；
②求弦长时，要用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，即设弦长为l，弦心距

为d，半径为r，则有2222rdl.

③弦长公式：设直线交圆于2211,,,yxByxA，则BAABxxkAB21
或BAyykAB211.
(4) 圆的切线方程：
①已知圆2221:ryxO；2222:rbyaxO；
0:223FEyDxyxO
，则以00,yxM为切点的圆1O切线方程为：
200ryyxx；圆2O切线方程为：2
00
rbybyaxax
；圆3O切线方

程为：0220000FyyExxDyyxx.
②若00,yxM在圆1O外，到圆1O有两条切线，则切点弦方程：200ryyxx.
9．圆与圆的位置关系
设圆2221:rbyaxC，2222:RnymxC且设两圆圆心距
为d.
(1) 几何特征（数形结合）：由圆心距与半径r、R的大小来判断
① rRd两圆外切；
② rRd 两圆内切且两圆的连心线过切点；
③ rRd两圆外离；
④ rRd 两圆内含；
⑤ rRdrR两圆相交．
(2) 代数特征：由两圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系
① △＞0有两组不同的实数解 两圆相交；
② △=0有两组相同的实数解 两圆相切；
③ △＜0无实数解 两圆相离.
10．圆系方程
① 设两相交圆0:111221FyExDyxC
0:222221FyExDyxC
则111223:FyExDyxC0)(11122FyExDyx1表示过
两圆交点的圆(不包括2C)；
当1时0212121FFyEExDD表示两圆的公共弦所在的直线方
程.
②022cbyaxFEyDxyx表示过圆
022FEyDxyx

与直线0cbyax交点的圆.

③ 222kbyaxk(为变数）表示以ba,为圆心的同心圆系。
二、有关圆问题的注意事项
1．在用待定系数法求圆方程时，一定要注意分析已知条件中圆的特点及规律，并能
运用数形结合的思想，即利用平面知识充分挖掘其几何特征，联立待定系数的方程组，使
问题简单化。
2．在讨论直线与圆，圆与圆的位置问题时，一般不用0,0,0，而用圆心

到直线距离d与半径r，和圆心距与半径的大小关系，分别确定相交，相切，相离的位置
关系。
3．求圆的切线方程一般有三种方法：设切点公式法；设切线斜率用判别式法；设切
线斜率用圆心到切线距离等于圆的半径法