高中数学专题复习--直线与圆的方程一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法．直线的倾角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章重点之一，点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线1l 到2l 的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意； 曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点．二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念． 三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大．四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算．直线【例题】例1已知点),2,16(),4,1(C B 点A 在直线033=+-y x 上，并且使,21=∆ABC S 求点A 的坐标． 例2已知直线l 的方程为,01243=-+y x 求直线1l 的方程, 使得：(1) 1l 与l 平行, 且过点(－1,3) ; (2) 1l 与l 垂直, 且1l 与两轴围成的三角形面积为4.例3过原点的两条直线把直线01232=-+y x 在坐标轴间的线段分成三等分，求这二直线的夹角．例4圆0622=+-++c y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点,求c 为何值时,O OQ OP (⊥为原点) ． 例5已知直线b x y +-=2与圆0152422=-+-+y x y x 相切,求b 的值和切点的坐标．例6某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a bm am (,＞b ).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？ 例7预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？例8已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种食物各x 千克,y 千克,z 千克配成100千克混合食物,并使混合食物内至少含56000单位维生素A 和63000单位维生素B .，y ，z 的值，使成本最低．【直线练习】一、选择题1．设M =120110,1101102002200120012000++=++N ，则M 与N 的大小关系为 ( )A .M ＞NB .M =NC.M ＜ND.无法判断2．已知定点A (1,1)，B (3,3)，点P 在x 轴上，且∠APB 取得最大值，则P 点坐标为 （ ） A ．()02，B ．()06，C ．⎪⎭⎫⎝⎛037，D ．()04，3．圆022=++x y x 上的点到直线033=-+y x 的最短距离为 （ ）A ．23B ．45 C ．43 D ．49 4．如果AC <0且BC <0, 那么直线,0=++C By Ax 不通过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若点(4, m)到直线431x y -=的距离不大于3, 则m 的取值范围是 ( )A ．(0, 10)B ．[]010,C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡331,31D ．()[)-∞+∞,,0106．原点关于直线8625x y +=的对称点坐标为 ( )A ．232,⎛⎝ ⎫⎭⎪B ．258256,⎛⎝ ⎫⎭⎪C ．(3, 4)D ．(4, 3)7．如果直线2+=ax y 与直线b x y -=3关于直线y = x 对称, 那么 ( )A ．a b ==136, B ．a b ==-136, C ．a = 3, b = －2 D ．a = 3, b = 6 8．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位, 再沿y 轴正方向平移1个单位, 又回到原来的位置, 那么直线l 的斜率是 ( )A ．-13B ．－3C ．13D ．39．设a 、b 、c 分别是△ABC 中, 角A 、B 、C 的对边, 则直线sin A x ay c ·++=0与bx B y C -+=sin sin ·0的位置关系是 ( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直二、填空题10．直线042=--y x 上有一点,P 它与两定点)4,3(),1,4(B A -的距离之差最大.则P 点坐标是___． 11．自点)3,3(-A 发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切，则光线l 所在直线方程为_________． 12．函数2cos 1sin )(--=θθθf 的最大值为_________，最小值为_________．13．设不等式12-x ＞)1(2-x m 对一切满足||m ≤2的值均成立，则x 的范围为_________． 三、解答题14．已知过原点O 的一条直线与函数x y 8log =的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数x y 2log =的图象交于C 、D 两点．(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上；(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标． 15．设数列{a n }的前n 项和b a n b n n na S n ,),,2,1(,)1( =-+=是常数且0≠b ．(1)证明：{a n }是等差数列； (2)证明：以(a n ,nS n－1)为坐标的点P n (n =1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程； (3)设a =1,b =21,C 是以(r ,r )为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围．例题参考答案例1解：直线B C 方程为2x ＋5y －22 = 0,|B C| = 29，设点A 坐标(3y －3,y )，则可求A 到B C 的距离为29|2811|-y ，∵∆AB C 面积为21，∴2129|2811|2921=-∙y ， ∴11141170-=或y ，故点A 坐标为（1170,11177）或（1114,1175--）． 例2解： (1) 由条件, 可设l ′的方程为 3x +4y +m=0, 以x =－1, y =3代入, 得 －3+12+m=0, 即得m=－9, ∴直线l ′的方程为 3x +4y －9=0． (2) 由条件, 可设l ′的方程为4x －3y +n=0, 令y =0, 得4n x -=, 令x =0, 得3ny =, 于是由三角形面积43421=∙-∙=n n S , 得n 2=96, ∴64±=n ∴直线l ′的方程是06434=+-y x 或06434=--y x ． 例3解：设直线2x ＋3y －12 = 0与两坐标轴交于A ，B 两点， 则A （0，4），B （6，0），设分点C ，D ，设θ=∠COD 为所求角． ∵2=CA BC ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯+==+=38212402216c c y x ，∴C （2，38）. 又2=DB AD ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+==+⨯+=3421442162000y x ，∴D(4,34)，∴31,34==OD OC k k .∴139313413134|1|=⨯+-=+-=ODOC ODOC k k k k tg θ，∴139arctg =θ． 例4解：解方程组消x 得5y 2－20y ＋12＋c = 0,)12(5121c y y +=∙, 消y 得5x 2＋10x ＋4c －27 = 0,)274(5121-=∙c x x , ∵OP ⊥OQ,∴12211-=∙x y x y ,∴5274512--=+c c ，解得c = 3． 例5解：把y =－2x ＋b 代入x 2＋y 2－4x ＋2y －15 = 0,整理得5x 2－4(b ＋2)x ＋b 2＋2b －15 = 0,令∆= 0得b =－7或b =13,] ∵方程有等根，5)2(2+=b x ，得x =－2或x = 6， 代入y = －2x －7与y = －2x ＋13得y =－3或y = 1，∴所求切点坐标为（－2，－3）或（6，1）．例6解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值.由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、 (b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为： k AC =t a n xCA =x a a -αcos αsin , .αcos αsin tan xb b xCB k BC -== 于是t a n ACB =AC BC AC BC k k k k ⋅+-1αcos )(αsin )(αcos )(αsin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x xab b a x x b a ab x b a由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则t a n ACB ≤αcos )(2αsin )(b a ab b a +-⋅-,当且仅当xab=x ，即x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生距离镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最佳．例7解：设桌椅分别买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x x y x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得∴A 点的坐标为(7200，7200)由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得∴B 点的坐标为(25，275) 所以满足约束条件的可行域是以)0,0(),275,25(),7200,7200(O B A 为顶点的三角形区域(如右图) 由图形直观可知，目标函数y x z +=在可行域内的最优解为),275,25(但x ∈N ,y ∈N *,故取y =37.故有买桌子25张，椅子37张是最好选择．例8解：（Ⅰ）由题，1194c x y z =++，又100x y z ++=，所以，40075c x y =++．（Ⅱ）由60070040056000, 10080040050063000x y z z x y x y z ++≥⎧=--⎨++≥⎩及得，463203130x y x y +≥⎧⎨-≥⎩，所以，75450.x y +≥所以，40075400450850,c x y =++≥+=当且仅当4632050, 313020x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨-≥=⎩⎩即时等号成立． 所以，当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低，为850元．点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域00463203130x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪-≥⎩上使得40075c x y=++最大的点．不难发现,应在点)20,50(M 处取得．【直线练习】参考答案一、选择题： ABACB DAAC1.解析：将问题转化为比较A (－1，－1）与B (102001，102000）及C (102002，102001）连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y =101x ，点A 在直线的下方，∴k AB ＞k AC ,即M ＞N . ． 2．解：P 点即为过A 、B 两点且与x 轴相切的圆的切点，设圆方程为222)()(b b y a x =-+- )0,0(>>b a所以有⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-06)3()3()1()1(222222b a bb a b b a ． 二、填空题：10.解析：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 答案：P (5，6）． 11.解析：光线l 所在的直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切． 答案：3x +4y －3=0或4x +3y +3=0 12.解析：f (θ)=2cos 1sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率. 答案：3413.解析：原不等式变为(x 2－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,则f (－2)＜0,且f (2)＜0. 答案：213217+<<-x 三、解答题：14.(1)证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，由题设知x 1＞1,x 2＞1,A (x 1,log 8x 1),B (x 2,log 8x 2).因A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,又点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1）、(x 2,log 2x 2). 由于log 2x 1=3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,则228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====由此得k OC =k OD ,即O 、C 、D 在同一直线上.(2)解：由BC 平行于x 轴，有log 2x 1=log 8x 2,又log 2x 1=3log 8x 1 ∴x 2=x 13 将其代入228118log log x x x x =,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1, 由于x 1＞1知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1x 2=3,于是A (3，log 83). 15.(1)证明：由条件，得a 1=S 1=a ,当n ≥2时，有a n =S n －S n －1=［na +n (n －1)b ］－［(n －1)a +(n －1)(n －2)b ］=a +2(n －1)b . 因此，当n ≥2时，有a n －a n －1=［a +2(n －1)b ］－［a +2(n －2)b ］=2b . 所以{a n }是以a 为首项，2b 为公差的等差数列.(2)证明：∵b ≠0,对于n ≥2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(11=--=--+--+=----b n b n a b n a aa bn n na a a S n S n n∴所有的点P n (a n ,nS n －1)(n =1,2,…)都落在通过P 1(a ,a －1)且以21为斜率的直线上.此直线方程为y －(a －1)=21(x －a ),即x －2y +a －2=0. (3)解：当a =1,b =21时，P n 的坐标为(n ,22-n ),使P 1(1,0)、P 2(2, 21)、P 3(3,1)都落在圆C 外的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->-+->+-222222222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->+->-0108041750)1(222r r r r r 即由不等式①,得r ≠1 由不等式②，得r ＜25－2或r ＞25+2 由不等式③，得r ＜4－6或r ＞4+6 再注意到r ＞0,1＜25－2＜4－6=25+2＜4+6 故使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,25－2)∪(4+6,+∞).高中数学专题复习——圆【例题】①② ③P nP n+1yox 例1设正方形AB CD 的外接圆方程为x 2+y 2–6x +a =0(a <9)，Ｃ、Ｄ点所在直线l 的斜率为31 ,求外接圆圆心Ｍ点的坐标及正方形对角线A C 、B D 的斜率．例2设圆1C 的方程为2224)23()2(m m y x =--++，直线l 的方程为2++=m x y ． （1）求1C 关于l 对称的圆2C 的方程；（2）当m 变化且0≠m 时,求证：2C 的圆心在一条定直线上,并求2C 所表示的一系列圆的公切线方程． 例3已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由．例4已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围．例5已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点． （1）如果324||=AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程． 例6有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A 、B 两地相距10km ，居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点． 例7在xoy 平面上有一系列点,),,(),,(222111⋅⋅⋅y x P y x P),,(n n n y x P 对每个自然数n ,点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1()n N +∈．（1）求证：数列}1{nx 是等差数列；（2）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +⋅⋅⋅++=21,求证：23π<n T ． 例8已知圆C ：22(1)1x y +-=和圆1C ：22(2)(1)1x y -+-=,现在构造一系列的圆123,,,,,n C C C C ,使圆1+n C 同时与n C 和圆C 都相切,并都与OX 轴相切.回答：(1)求圆n C 的半径n r ；(2)证明：两个相邻圆1-n C 和n C 在切点间的公切线长为21nC ；(3)求和)111(lim 22322nn C C C +++∞→ .【圆·练习】1、直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是 （ ）(A )直线与圆相切 (B ) 直线与圆相交但不过圆心 (C)直线与圆相离 (D) 直线过圆心2、点()M x y 00，是圆()0222>=+a a y x 内不为圆心的一点,则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交3、直线()00≠=++ab c by ax 截圆522=+y x 所得弦长等于4,则以|a |、|b |、|c |为边长确定的∆一定是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不存在4、已知两点A (–2,0),B (0,2), 点C 是圆x 2+y 2–2x =0上的任意一点,则△AB C 面积的最小值是 （ ）(A )23- (B ) 23+ (C)226- (D) 223- 5、已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈--==R y x x y y x p 、,25),(2及{}Φ≠∈+==Q P R y x b x y y x Q 若、,,),(，则实数b 的取值范围是 （ ）（Ａ）[–5,5] （Ｂ）)5,25(- （Ｃ）]5,25[- （Ｄ）]25,25[-6、若曲线x 2+y 2+a 2x =(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（ ）． （Ａ）21±（Ｂ）22± （Ｃ）2221-或 （Ｄ）2221或- 7、若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有两个点到直线4x +3y =11的距离为1，则R 的取值范围为（ ）． （A ）R >1 （B ）R <3 （C ）1<R <3 （D ）R ≠28、已知圆50)3()6(10)1()2(222221=+++=-+-y x C y x C ：与圆：交于A 、B 两点,则AB 所在的直线方程是_ _． 9、直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 的最近距离是_ _． 10、已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为2的切线方程为_ _．11、过P （－2，4）及Q （3，－1）两点，且在X 轴上截得的弦长为6的圆方程是_ _． 12、半径为5的圆过点A (－2, 6)，且以M (5, 4)为中点的弦长为25，求此圆的方程． 13、已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB ．求m 的值． 14、已知定点)0,2(A ，P 点在圆122=+y x 上运动，AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，其中O 为坐标原点，求Q 点的轨迹方程．例题参考答案：例1解：由(x –3)2+y 2=9－a (a <9)可知圆心Ｍ的坐标为（3,0）依题意：.31,4==∠=∠AB k BAM ABM πM A ,M B 的斜率k 满足:113131=+-kk 解得:k A C =2,21=-BD k例2解：（1）圆C 1的圆心为C 1（－2，3m+2），设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ）则⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=+--2222231223m a b m a m b 解得：⎩⎨⎧+=+=112m b m a∴圆C 2的方程为2224)1()12(m m y m x =--+--（2）由⎩⎨⎧+=+=112m b m a 消去m 得a －2b +1=0即圆C 2的圆心在定直线x －2y +1=0上。