第七章 光信息处理的数值模拟与仿真7.2 光波的衍射衍射是光波在空间传播过程中的一种基本属性。

实际中的衍射现象可以分为两种类型：菲涅尔衍射与夫琅禾费衍射。

菲涅尔衍射与夫琅禾费衍射的衍射图样具有不同的性质，为了简化这两类衍射图样的数学计算，通常都要对衍射理论所给出的结果作出某种近似，而对菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射所采用的近似的程度是不同的。

一般将满足远场近似条件的衍射称为夫琅禾费衍射，满足近场近似条件的衍射称为菲涅耳衍射。

夫琅禾费衍射实际上是菲涅耳衍射的一种特殊情况，两者的差异仅在于一个二次相位因子。

根据标量衍射理论，衍射过程可以用菲涅耳-基尔霍夫衍射积分描述[1]。

然而，近场近似条件下的菲涅耳衍射积分式相当复杂，特别是对于具有复杂结构的衍射屏，几乎不可能获取其解析解。

同时，由于实验条件和其它因素的限制，实验上也往往难以方便地观察。

计算机仿真以其良好的可控性、无破坏、易观察及低成本等优点，为数字化模拟现代光学实验提供了一种极好的手段[2]。

一般在设计一个光学系统时，总希望明确知道某一个光学元件能起到何种作用。

用计算机仿真菲涅耳衍射，可以给出衍射光场复振幅及强度在任意平面上的详细分布，而用传统的半波带理论及振幅矢量叠加法只能给出某些特定平面上光场的近似分布；计算机仿真也可以直接模拟光学成像过程，给出指定光学元件的衍射特性或成像特性，因此对于优化光学系统设计具有一定的指导作用。

本节首先介绍光波衍射的基本理论，然后分别对菲涅耳衍射及夫琅禾费衍射两种情况下的各种衍射现象进行Matlab 仿真模拟。

本节首先讨论菲涅尔衍射，上图为讨论菲涅尔衍射的几何图形，根据菲涅耳-基尔霍夫衍射积分，观察平面上复振幅分布为);,(),();,(),(),,(0z y x G y x y d x d z y y x x G y x z y x p p p *='''-'-''=⎰⎰ψψψ (7.2-1)其中，G (x , y ; z )为系统的空间脉冲响应，表达式为()[]()()[]yx y x y x dkdk y jk x jk zk k k k jk z y x G --⨯---=⎰⎰exp 1exp 41;,20220202π(7.2-2)在极坐标系下,x =rcos θ，y =rsin θ，k x = ρcos φ, k y = ρsin φ，G (x , y ; z )可表示为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++-===22022222200112exp );(~);sin ,cos ();,(z r jk z r z zr zr jk jk z r G z r r G z y x G πθθ (7.2-3)下面，对式(7.2-3)作下列近似：（1） 当z >>λ0=2π/k 0时，[1+1/jk 0(r 2+z 2)1/2]≈1，因此该项可忽略。

y 0 图1 讨论菲涅尔衍射的几何图形（2） z /(r 2+z 2)1/2=cos Φ，其中cos Φ称为倾斜因子，Φ为z 轴正半轴与过坐标原点的直线之间的夹角。

（3） 在傍轴近似条件下，有x 2+y 2<<z 2。

将r 进行二项式展开，则因式 (r 2+z 2)1/2=(x 2+y 2+z 2)1/2≈z +(x 2+y 2)/2z ；在傍轴近似下，cos Φ≈1。

在菲涅尔近似下，脉冲响应变为自由空间脉冲响应h (x , y ; z )，根据傅里叶光学（Banerjee(1991)，Goodman (1996)），()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=z y x jk z jk z jk z y x h 2exp 2exp ;,22000π (7.2-4)对(7.2-4)进行二维傅里叶变换得：()(){}()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-==02202exp exp ;,;,k z k k j z jk z y x h F z k k H y x xy y x (7.2-5)在傅里叶光学中H (k x , k y ; z )称为空间频率响应。

事实上，式(7.2-5)可以通过假设k x 2+k y 2<<k 02直接推导出来，此时光波x ，y 方向的传播矢量相对较小。

由式(7.2-5)可以得到)()()()()()()z k k H k z k k j z jk z k k k jk z k k H k k z k k y x y x yx y x y x p y x p ;,2exp exp 1exp ;,,;,0220202200=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-≈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--==ψψ (7.2-6) 若将(7.2-4）式代入（7.2-1）式，可得到()()()()()()()y d x d y y x x z jk y x zjk z jk z y x h y x z y x p p p''⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-+'--⨯''⎰⎰-=*=22000002exp ,2exp ;,,,,ψπψψ(7.2-7)夫琅禾费衍射是菲涅耳衍射的一种特殊情况，在实验中可借助两个透镜来实现。

如图2所示，位于透镜L 1物方焦平面上的点源S 所发出的单色球面光波经L 1变换为一束平面光波，照射在衍射屏AB 上。

衍射屏开口处的波前向各个方向发出次波。

方向彼此相同的衍射次波经透镜L 2会聚到其像方焦平面的同一点P θ上。

满足相长干涉条件时，该点为亮点；满足相消干涉条件时，该点为暗点。

根据菲涅耳-基尔霍夫积分，当观察屏与衍射屏之间的距离z 满足夫琅和费衍射的条件[4]图2 实现夫琅和费衍射的实验装置()12max22<<+zyx k 或者 ()m a x222yxk z +>>(7.2-8)时，可得夫琅和费衍射复振幅分布()()()()()()(){}z y f z x f yx y x U F y x z k j jkz zj dxdyyy xx zjy x U y x z k j z j y x U λλλλπλ==+∞∞-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰,2222,''2expexp1''2exp ,''2exp 1',' (7.2-9)上式表明，观察屏上的场分布正比于衍射屏上透射光场分布的傅里叶变换。

频谱取值与观察平面坐标的关系为f x =x/λz ，f y =y/λz 。

积分号前的相位因子并不影响观察屏上衍射图样的强度分布()(){}20222,1,1','⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y z xA z y x U F z y x I λλλλ (7.2-10)式中，A 0 表示衍射屏透射光场复振幅分布的频谱，略去常系数，衍射图样的强度分布直接等于衍射屏透射光场分布的傅里叶变换频谱。

设衍射屏的透射系数为t (x , y )，照明光波在衍射屏平面上的复振幅分布为r (x , y )，则夫琅和费衍射复振幅分布可表示为：()()()(){}z y f z x f y x t y x r F y x z kz z y x U y x λλλλ',',,''πj exp j exp j 1)','(22==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=(7.2-11)式中F{}表示二维傅里叶变换运算，z 为观察距离（观察平面到衍射屏之距离）。

(7.2-11)式也称为菲涅耳变换。

7.2.1 菲涅尔衍射的MATLAB 仿真本节首先以平面波和点源为例，简单说明其菲涅尔衍射的复振幅分布；其次，在计算离散菲涅耳衍射积分公式的基础上，利用MA TLAB 软件实现了多种衍射屏的菲涅耳衍射的计算机仿真。

给出了用平面光波或球面光波照射不同衍射屏时的菲涅耳衍射仿真实验结果，包括直边、狭缝、矩孔、圆孔、圆屏、黑白光栅等，并分析了一些特殊衍射现象。

该方法还可用于菲涅耳数字全息图的数值重建。

当入射光波为平面波时，其复振幅分布可表示为,ψp 0 (x ,y )=1则{})()(4);,();,(200y x y x p xy y x p k k z k k z k k δδπϕ=ℑ=ψ (7.2-12)根据式(7.2-6)可知，传播距离为z 处的光波的频谱分布为()()()()()()()()()()()()z jk z jk k k k z k k j z jk k k k k k j z jk k z k k p y x yk k y x y x y x x y x p x 000200220202202exp exp 42exp exp 42exp exp 4;,-ψ=-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=ψ==δδπδδπδπ (7.2-13)因此有()z jk z y x p p 00exp );,(-=ϕϕ (7.2-14)上式表明，平面波在传播过程中不发生衍射。

当入射光波为一理想点源时，()()()y x y x p δδψ=,0(7.2-15)由式(7.2-7)，传播距离为z 处的光波的频谱分布为()()()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=*=z y x jk z jk z jk z y x h y x z y x p2exp 2;,,,22000πδδψ(7.2-16)展开指数中的二次项，则有()[]()R jk Rjk yx z jk z jk z y x p 002122200exp 2exp 2,,-≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-≈ππψ (7.2-17)应该说明的是，式(7.2-16)代表了发散球面波在近轴近似下的传播。

实际上，包括平面波及点源在内，任何光波在任何光学系统中的传播过程，实际上都是一种在相应光学元件调制下的衍射过程。

研究各种形状的衍射屏在不同实验条件下的衍射特性，无论对于经典的物理光学还是现代光学都具有重要意义。

设衍射屏的透射系数为t (x , y )，照明光波在衍射屏平面上的复振幅分布为r (x , y )，则在菲涅耳近似下[3]，透过衍射屏的光场（即菲涅耳衍射光场）复振幅可表示为：()()()()()z y f z x f y x z y x t y x r F y x z kz z y x U yx λλλλλ','j πexp ,,''πj exp j exp j 1)','(2222==⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=(7.2-18)式中，F{}表示二维傅里叶变换运算，z 为观察距离（观察平面到衍射屏之距离）。