% QG = exp( ikr ) r % ∂G 1 exp( ikr ) → → ;∴ → = cos n, r ik − r r ∂n
ex (ikr) p ~ 为球面波：G = r
∑ ∑ε
' '
→ 对于 ∑ε 上的Q点， cos n,
'
由
~ ∂E ~ ∂G r ~ 进而有： G − E dσ ⇒ ∫∫ ( ) dσ = ∫∫ −( )dσ → ∫∫ → ' ∑ ∑ε ∂n ∑ε ∂ n ~ ~ exp(ikε ) 1 2 ∂E(P) exp(ikε ) = 4πε [ r − E(P) ( − ik)]ε →0 ∂n ε ε ε ~ = −4πE(P) (3)
衍射过程可以分解为三个相对简单的子过程处理，
Σ
P
S
Π d0
d
衍射问题研究的历史回顾
17世纪 年代 意大利学者格里马第 世纪50年代 世纪 年代,意大利学者格里马第 (F.M. Grimaldi,1618-1663)首次注 首次注 意到衍射现象。 意到衍射现象。他发现光经过细棒 等物体时，偏离了直线传播规律， 等物体时，偏离了直线传播规律， 在物体阴影边界附近形成了亮暗交 替或彩色的条纹。 替或彩色的条纹。
~ ~ ~ ∂E ~ ∂G G − E → dσ = 0 ∫∫' → ∂n ∑ ∂n (2)
~ 2~ ∇ G+k G = 0 2~ 2~ ∇ E +k E = 0
2
~ 可选 G
式中r表示∑’内任一点Q与考察点P之间 的距离 显然、此球面波函数在r=0处不连续，故 为了使格林公式成立，应将r＝0点P除去。 为此以P为圆心作一半径为ε的小球，并 ' ∑' + ∑ε 取积分域为复合曲面 ~ ~ ~ ∂E ~ ∂G 见上图， G − E → dσ = 0 ∫∫ → 则（2）式变为 ∂n + ∂n
' '
~ exp(ikε ) r = −1. G = ε ~ r % ∂E r ∂G ∂G exp(ikε ) 1 % % % = − ik 则 ∫∫ G → − E → dσ = 0 → ε ε ' ' ∂n ∂n ∑ +∑ε ∂ n ~ r
% ∂E % ∂G % % G → − E → dσ ∫∫' ∂n ∑ ∂n
＇ Σ
V
n
＇ Σ ε ε
P
n
此结果称为亥姆霍兹－ 此结果称为亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理 亥姆霍兹 其意义在于： 其意义在于：
~ r 把闭曲面∑’内任一点P的电磁场值 把闭曲面 ’内任一点 的电磁场值E(P) r ~ r ∂ ~ 表示出来， 用曲面上的场值 E 及 r E 表示出来，因而它也可看作 ∂n
惠更斯－菲涅耳原理的一种数学表示。 惠更斯－菲涅耳原理的一种数学表示。
事实上，在上式的被积函数中，因子 事实上，在上式的被积函数中，
~ exp(ikr) G= r
可视为由曲面∑’上的 点向内空间的 点传播的波， 点向内空间的P点传播的波 可视为由曲面 ’上的Q点向内空间的 点传播的波， r ~ 和 ∂ ~值确定。 r 波源的强弱由Q点上的 波源的强弱由 点上的 E r E 值确定。 因此，曲面上每一点可以看作为一个次级光源， 因此，曲面上每一点可以看作为一个次级光源，发射 出子波， 出子波，而曲面内空间各点的场值取决于这些子波的 叠加。 叠加。
第一节 光波的标量衍射理论
一、惠更斯－菲涅耳原理 惠更斯－ 1、惠更斯原理 (Huygens’ principle)： （1）波阵面的形成， （2）波面的传播方向。
S D
v
D' K
图3－2 光波通过圆孔的惠更斯作图法 －
2、惠更斯－菲涅耳原理 波阵面外任一点光振动应该是波面上所有 子波相干叠加的结果。
3.1.3基尔霍夫衍射积分公式 基尔霍夫衍射积分公式(1882年） 基尔霍夫衍射积分公式 年
标量衍射理论的基础知识 标量衍射理论的基础知识 v 电磁波的波函数： 电磁波的波函数： E ( r , t ) = E0 exp j ( kr − ωt )
1 ∂2E 2 波动微分方程： 波动微分方程： ∇ E = 2 V ∂t 2
第三章 光的衍射
Diffraction of Optical Wave
光的衍射现象：光波在空间传播遇到障碍时，其传 光的衍射现象
播方向会偏离直线传播，弯入到障 碍物的几何阴影中，并呈现光强的 不均匀分布的现象。
不同波长弹性波通指缝 眼皮缝都可观察衍射(试试看)
孔雀羽毛的黄、 孔雀羽毛的黄、褐、绿、蓝四色形成“眼”。右下图 蓝四色形成“ 为绿色区域的羽支横截面上的纳米尺度周期结构的显 微照片，图中左上白色三角形为羽支中心部分 色三角形为羽支中心部分。 微照片，图中左上白色三角形为羽支中心部分。
蝴蝶翅 膀上的 周期衍 射结构
衍射的定义
衍射定义(1) (1)： ◆ 衍射定义(1)： 广义来说， “广义来说，凡是不能用反射折射予以解释的光偏离直线 传播的现象.” 传播的现象. 衍射定义(2) (2)： ◆ 衍射定义(2)： 光波在传播过程中，由于受到限制（即空间调制） “光波在传播过程中，由于受到限制（即空间调制）时所 发生的偏离直线传播规律的现象” 发生的偏离直线传播规律的现象” ◆ 上述定义表明，衍射是光传播过程中的普遍现象。 上述定义表明，衍射是光传播过程中的普遍现象。 普遍现象
◆
衍射与干涉的联系与区别？ 衍射与干涉的联系与区别？
衍射 是有条件的吗？ 是有条件的吗？
衍射包含三个基本要素
光源，衍射物体和衍射图形
λ ~a
衍射花样
光源
衍射物
观察屏
图1
衍射基本理论要解决的问题是： 衍射基本理论要解决的问题是
发出的光波， 的限制后， 分析由光源 S 发出的光波，受到衍射物体 Σ 的限制后， 上造成的复振幅分布或辐照度分布。 在观察平面 Π 上造成的复振幅分布或辐照度分布。
→
~ ~ ~ ~ ~ ∂E ~ ∂G ~ ∂E ~ ∂G 1 ~ ~ G − E → dσ = 4πE(P) ⇒ E(P) = ∫∫ → ∫∫ G → − E → dσ 4π ' ∂ n ' ∂n ∂n ∂n ∑ ∑
% ( P) = 1 E 4π
Augustin Fresnel
(1788-1827) 1.did experiments to establish the wave theory and derived expressions for reflected and transmitted waves. 2. In 1818,HuygensFresnel principle
以简谐标量波的波动微分方程出发（亥姆霍兹”方程） 建立了一个公式，使得空间任意一点的电磁场，可以用包 围该点的任意封闭曲面上的电磁场及其导数求得”此即为： 亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理 如图所示： 设有一单色光波通过 ＇ Σ 闭合曲面∑’传播。 V 则光波电磁场的 ~ r 任一直角分量的复振幅 E 满足亥姆霍兹方程
→
→ →
∫∫∫ (
V
% % % % G∇2E − E∇2G dv =
)
% % ∂E % % ∂G dσ ∫∫' G → − E → ∂n ∑ ∂n
(1)
∂ V是闭合面∑’所包围的体积，n r ∂
表示∑’
上每一点沿向外法线的偏微商。 ~ 若取 G 也满足亥姆霍兹方程，则 由 由此知：格林定理中左边为零 即
n
∇ E+ k E = 0
2 2
→
→
＇ Σ ε ε
P
n
若不考虑电磁场其它分量的影响，孤立地把 看作标量场，并用曲面上的 E 和 ∂ E 值 → ∂n → E 表示面内任一点的 E ，这种理论就是标量衍 标量衍 射理论。 射理论 设 → 和一个位置坐标的任意复函数G在曲面∑’ E 上和∑’内部都有连续的一阶和二阶偏导数 则由格林定理：
何谓标量衍射理论？ 何谓标量衍射理论？
v v 2 亥姆霍兹方程： 亥姆霍兹方程： ∇ E ( r ) + k E ( r ) = 0
2
∂G ∂E −E 格林定理： 格林定理： ∫∫∫ ( G∇ E − E∇ G )dv = ∫∫ G dσ V s ∂n ∂n
2 2
~ E
一、亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理 亥姆霍兹－
Augustin Fresnel
麦克斯韦 Maxwell James Clerk (1831～1879) ～
1873年 麦克斯韦在”电磁学” 1873年,麦克斯韦在”电磁学” 一书中提出了著名的麦克斯 韦电磁理论, 韦电磁理论, 预言：电场和磁场相互作用 预言： 的结果,可以向空间辐射, 的结果,可以向空间辐射,形 成电磁波； 成电磁波； 光波是电磁波的一个 波段。 波段。 应用麦克斯韦方程组，基尔 应用麦克斯韦方程组， 霍夫终于在1882 1882年导出了计 霍夫终于在1882年导出了计 算衍射问题的基尔霍夫衍射 积分公式。 积分公式。
Z Q R r S
θ
∑
P
Σ
Z'
点光源S对 点的作用 图3-3 点光源 对P点的作用
光源S在波面ZZ ' 上 任意Q点产生的复振幅： exp(ikR ) ~ EQ = A ⋅ R
Q点处dσ 大小的面元 对P点的贡献为：
波阵面外任一点光振动应该是波面 上所有子波相干叠加的结果。
Z Q R r S P
θ
衍射 对波动学说确立有何意义？ 对波动学说确立有何意义？
Christiaan Huygens (1629-1695)
Huygens extended the wave theory of optics. He realized that light slowed down on entering dense media. He explained polarization and double refraction.