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3、k次抛物型
1, x ≤ a
A(x; a,b, k)
=
b b
−x −a
k
,
0, b < x
a< x≤b
其中，a、b、k 是参数，且 k>0 ，如下图
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4、Cauchy型
A(x; a,α, β ) = 1,
x≤a
1 1+α(x − a)β
,a
<
x
其中，a、α , β 是参数，且 α , β > 0，如下图
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例如，有10个评委对某歌唱比赛进行评审，有许多
人参加比赛，模糊集是“优秀歌手”，对其中某人进
行打分，打分，打分的结果是 : 99,96,97,92,94,90,98,
96,97,95,去掉最高分99和最低分90，然后平均
1 8
(96
+
97
+
92
+
94
+
98
+
96
+
97
+
95)
=
95.6
n 偏向大的一方的模糊现象
u 大、热、年老
n 隶属函数的一般形式如下，其中a为常数，f (x)为非递减函数
A(x)
=
0,
f
(
x),
x≤a x>a
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中间型模糊分布
n 处于中间状态的模糊现象
u 中、暖、中年
n 隶属函数的一般形式如下，其中a,b为常数
0,
A(x)
=
f
(x),
0,
x<a x ∈[a,b] x>b
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模糊分布法
n 若模糊集定义在实数域上，可根据问题性质采用某种形式 的模糊分布，函数选定和其中参数确定均有赖于数据测量 和实际经验。常用的模糊分布有阶梯型、指数型、正态 型、线性型、幂函数型、正弦型等。根据问题的性质，选 用某些典型函数作为隶属函数,这时的论域元素多半是连续 的。
F统计试验的基本要求是：要对论域上固定的元u0, 是否属于论域 上一个可变动的普通集合A,(A作为 F集合的弹性边界),作一个确切 的判断. 这要求在每次试验中,A必须是一个取定的普通集合.在各 次试验中, u0是固定的，而A在随机变动。作n次试验，计算
u0对A的隶属频率= " u0∈A ”的次数/n 随着n增大，隶属频率也会呈现稳定性。频率稳定值叫做u0对 A 的隶属度。
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n 通常刺激的真实强度s可以直接测定，但人所受到 的反应无法直接测定.现在,把r看作是s的函数，即
r=r(s).
n 对自变量s的任一微小变化，r也有相应的变化。弗 查尼认为，可以合理地假定△r与△s成正比而与s 成反比，即△r =k△s/s, 令△s →0,得到方程
n
dr/ds=k/s (s>0),
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27岁对(年轻人)的隶属频率
试验次数n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 129 隶属次数m 6 14 23 31 39 47 53 62 68 76 85 95 101 隶属频率m/n 0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.76 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78
n 1．表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合；例如 “速度适中”的隶属度函数----在一定范围内或者一定条件 下，模糊概念的隶属度具有一定的稳定性——从最大的隶 属度函点出发向两边延伸时，其隶属度函数的值必须是单 调递减的，而不许有波浪性----总之，隶属度函数呈单峰馒 头形(凸模糊集合)----一般用三角形和梯形作为隶属度函数 曲线。
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数学建模法
n 十九世纪德国心理学家G.T.Feebner研究了人对外界刺激 的反应问题。设s表示某种外界刺激的张度(例如灯泡的亮 度或功率，40瓦，60瓦等等),r表示人接受某种刺激的反应( 例如对亮度的感觉等)。大家知道，人的反应r和刺激的真 实强度s是不同的。当我们喝牛奶时，加一匙糖和加三匙糖 ，我们会感觉甜度有明且的差别，而加三匙糖和加三匙半 糖，我们会感到甜度只有微小的差别。这种是很普遍的。 如声音的刺激，皮肤压力，亮度反应，嗅觉等等。
于是求得该人隶属于优秀歌手的程度是0.956
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2.隶属频率统计法
n 用确定“青年人” 的隶属函数为例来说明．以年龄为论 域 U , A 是“青年人” 在 U 上的 F 集。选取u0= 27 岁，用 F 统计试验确定 u0对A的隶属度，具体做法是：选 择若干合适人选，各自认真考虑“青年人”的含义后，请 他们写出各自认为“青年人”最适宜最恰当的年限(从多 少岁至多少岁),即将模糊概念明确化。若n次试验中覆盖 27 岁的年龄区间的次数为m,则称m/n为 27 岁对于“青年 人” 的隶属频率。表 3 -1是抽样调查试验的结果。我们 发现 27 岁对“青年人” 的隶属频率将稳定在0. 78 附 近,因而可取 A(27)=0.78.
⇔ χ A(x) = 1且χB (x) = 1 ⇔ χ A(x)χB (x) = 1 χ AIB (x) = max(χ A(x) + χB (x) −1,0)
模糊集的交有无其它定义方法？ 模糊集的并也存在同样问题.
t-模(t-norm)
定义： 设T :[0,1]×[0,1] → [0,1], 若T满足： (1)对称性：T (x, y) = T ( y, x); (2)结合律：T (x,T ( y, z)) = T (T (x, y), z);
其中，a、b 是参数，且 b>a
，1, 如bx −−b下aa<图x ,
a < x≤b
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0 ,
x≤a
（c）、梯形
A(
x;
a,σ
)
=
x−b,a < x ≤b
b−a
1,
b<x≤c
d
d 0,
− x,c −c
<
x≤d d<x
其中，a、b 、c、d是参数，且 a<b<c<d ，如下图
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的若干标称的模糊集合，应该合理的排列。下面的 排列是错误的。
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n 4．论域中的每个点应该至少属于一个隶属度函数 的区域，同时它一般应该属于至多不超过两个隶属 度函数的区域。
n 5．对于同一输入，没有两个隶属度函数会同时有 最大隶属度。
n 6．对两个隶属度函数重叠时，重叠部分对于两个 隶属度函数的最大隶属度不应该有交叉。
S (x1, y1) ≤ S (x2, y2 ); (4) 边界条件：S(0, x) = x.
则称S是一个t-余模。
n 交换性表明三角模的取值不依赖输入变量的顺序；单调性 说明在输入变量增加时，三角模的值不应该减小；利用结 合性可以把它们的定义从二元函数扩展到n元函数： T(x1, x2 , …, xn)= T(x1, T( x2, T(…,T(xn−1, xn))),…) S(x1, x2 , …, xn)= S(x1, S( x2, S(…,S(xn−1, xn))),…)
(3)单调性：x1 ≤ x2, y1 ≤ y2时， T (x1, y1) ≤ T (x2, y2 );
(4)边界条件：T (1, x) = x. 则称T是一个t − 模.
t-余模(t-conorm)
定义： 设S :[0,1]×[0,1] → [0,1], 若S满足：
(1) 对称性：S(x, y) = S( y, x); (2) 结合律：S(x, S( y, z)) = S(S(x, y), z); (3) 单调性：x1 ≤ x2, y1 ≤ y2时，
23.5--24.5 129
24.5--25.5 128
隶属频率 分组
0.016 25.5--26.5 0.209 26.5--27.5 0.395 27.5--28.5 0.519 28.5--29.5 0.961 29.5--30.5 0.969 30.5--31.5
1 31.5--32.5 1 32.5--33.5 1 33.5--34.5 1 34.5--35.5 1 35.5--36.5 0.992
n 下面我们来考虑“青年人”的隶属函数。将论域 U分组，每 组以中值为代表分别计算各组隶属频率(见表 3-2),连续地描 出图形便可得到“青年人”的隶属函数曲线. 这是在一个单位 所作 F 统计结果。用同样的办法在另外两单位作试验，所 得结果即“青年人”的隶属函数曲线的形状大致与此相同。
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n 因而
r=klns+C,
n 这就是“韦伯－弗查尼定律。
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确定隶属函数新方法
n 1.使用神经网络和遗传算法-自适应方法 n 2 .利用量度理论
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遵守的基本原则：
n 隶属函数本质是客观存在的﹐但确定过程容许有一定的主 观意识与人为技巧,在模糊数学的许多应用中，隶属函数可 以经过实践效果的检验与调整，以获得更确实的隶属函 数。例如开始只能建立一个近似的隶属函数，然后通过“学 习”逐步修改和完善.
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−( x−a )2
1、正态型 A(x; a,σ ) = e σ
其中,a,σ是参数，且σ ≥0 ，如下图
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2、半梯形与梯形 (a)、右半梯形
1, x ≤ a
A(x; a,σ ) =
0,
b−x b−a
b<
, x
a< x≤b