所以
z
c
dz
的值无论 C 是怎样的曲线都等于
1 3 4i2
2
dz
例2计径算的正 c向z 圆z0n周其1, ,中n为C整为数以.
z
0
中心，
r为半
解: C 的方程可写成 zz0ri e,02 ,
所以
cz d z 0n 1 z 0 2 r n i 1 e i i r n 1 e d 0 2 r n e ii n d r in0 2 e in d
例
6
计算
1
0 z sinzdz
解：
1
z sinzdz
0
1
11
0zdcoz szcoz0s0cozsdz
zcozssin z1si1nco1s
0
例7 计算 3i e2zdz i
解：
3ie2zdz1 3ie2zdz
i
2 i
1 2e2z 3ii1 2e6i e2i 0.
例8 计算
i
z
讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是 解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性 质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我 们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个 重要的结论。
3.1.2积分存在的条件及其计算方法
1) 当是连续函数且是光滑(或按段光滑) 曲线时，积分是一定存在的。 2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。
第三章：复变函数的积分
本章学习目标
1了解复变函数积分的概念; 2了解复变函数积分的性质; 3掌握积分与路经无关的相关知识; 4熟练掌握柯西—古萨基本定理; 5会用复合闭路定理解决一些问题; 6会用柯西积分公式; 7会求解析函数的高阶导数.
复变函数的积分
3.1 复变函数积分的概念 3.1.1积分的定义 本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后
z
1e
dz
0
解： iz1ezdzizid ez
0
0
z1ez
i
0
0iezdz
z1ezez 1ie i ico 1 sisi n 1 0 si1n ico 1s
3.3 基本定理的推广—复合闭路定理
我们可以把柯西—古萨基本定理推广到多连域 的情况 .
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值， 这一重要事实，称为闭路变形原理.
3.1.3 积分的性质
1 c fzd zcfzd;z 2 ckfzdzkcfzdz 3 cfz g z d z cfz d z cg z d ;z 4 c fzdzc fzdsML
例1计算
z dz , 其中 C 为从原点到点 34i的
c
直线段。
解 直线的方程可写成 x3 t,y4 t,0t1
柯 西 — 古 萨 （ Cauchy—Goursat ） 基 本 定 理 如果函数在单连域内处处解析，那末函数沿内 的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即
c fzdz0
3.2.3 几个等价定理
定理一 如果函数 f z在单连域内处处解析，
那末积分 c f zdz与连结从起点到终点的路 线 C 无关.
因此
dz
c zz0 n1
2i,n0,
0,n0,
例 0）3到计（算1，cz d1z）的的值线，段其：中xt,Cy 为t沿,0从t（1 ;0，
解 :
c zd z0 1 t it1id t0 12 td 1 t;
例 0）4到计（算1， c1zd）z 的的值线，段其与中从（C1为，沿0从）（到0（，1，
c fzd zc ud vxd iy c vd uxdy
fzdzt
c
t
f zt ztdt
3.1.3 积分的性质
从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质， 它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的.
我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓 简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时， 曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为 简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的 情形，如无特别声明，总是指曲线的正向.
1）的线段所连结成的折线。
解 : zdz zdz zdz
c
c1
c2
1
tddt
11 it idt
0
0
1 1 i 1 i 2 2
3.2 柯西—古萨（Cauchy—Goursat）基 本定理
3.2.1 积分与路经无关问题
积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分 值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及 区域的单连通性有关.
例9计算
z
dz 2
z
的值，为包含圆周
z
1
在
内的任何一条正向简单闭曲线。
解
:
Ñ
dz z2
z
Ñ
c1
z
dz 2
z
dz c2 z 2 z
dzd z 1d z 1 d z 1dz
c1z1 z c1
c2z1
z c2
02i2i00
3.4 柯西积分公式
定理(柯西积分公式) 如果函数f z在区域 D 内
定理三 如果函数 f z在单连域内处处解析，Gz为 f z
的一个原函数，
那末
z
z0
fzd zG zG z0
这里 z 0 , z 为区域B 內的两点。
例 5 计算 isin2zdz i
解：
i sin2zdz
i
ii1 c 22 o zd s z 1 2 z 1 2 s2 iz n iii 1 2 s2 iin
定理二 如果函数 fzuiv在单连域B 内处
处解析，那末函数 Fz必为内的解析函数,并
且 Fzfz
原函数的概念
下面，我们再来讨论解析函 z 的任何两个原函数相差一个常数。
利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛 顿—莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算 公式。
z d z 1 3 4 i2 td 3 t4 i21 td 1 3 t 4 i2 t2 1 1 3 4 i2
c
0
02
02
又因为
c z d z c x i y d ix d c y x d y x d ic y y d xx dy
容易验证，右边两个线积分都与路线 C无关，
处处解析，C 为内 D 的任何一条正向简单闭曲
线,它的内部完全含于 D,z 0 为 C 内的任一点,那
末
fz021 ic
fz
dz zz0
(3.4.1)
公式(3.4.1)称为柯西积分公式.通过这个公式
就可以把一个函数在C 内部任何一点的值,用
它在边界上的值来表示.