有限元分析-基本概念
现代设计方法
有限元法的基本思想
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现代设计方法
有限元法的基本思想
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现代设计方法
有限元法的基本思想
• 离散为单元网格的冲压件仍然要保证是一 个连续体，单元与单元之间没有裂缝、不 能重叠，所有单元通过单元节点相互关联 着 • 板料无论产生多大的塑性变形，单元与单 元之间依然不会产生裂缝、交叉和重叠， 关联单元的节点也不能脱开
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3）利用节点间的刚度系数直接写出总体刚度矩阵 总体刚度矩阵对角线上的刚度系数 K ij 等于在节 (e) K 点 i 汇交的几个单元的刚度系数 ij 之和；非对角线 上的刚度系数 K ij 等于联结节点i与节点j间几个单元 的刚度系数
(e) K ij 之和。
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现代设计方法 不合格单元
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单元裂缝 有限元分析-基本概念
单元重叠
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根据研究对象的不同，有限元法中采用的单元 形式也不相同。 通常，按照单元结构，可将单元划分为一维单 元（线单元）、二维单元（面单元）和三维单元
一维单元
J
二维单元
L K
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4. 确定约束条件 由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数 整体平衡方程 方程，在求解之前，必修根据具体情况分析，确定 求解对象问题的边界约束条件，并对这些方程进行 求解对象问题 适当修正。
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5. 有限元方程求解 通过求解整体平衡方程，即可求得各节点的 位移进而根据位移可计算单元的应力及应变。 6. 结果分析与讨论
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2）节点（node） 单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限 元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物理 特性，且存在相互物理作用。
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载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有 一定相应，相互之间存在物理作 用。 单元:节点间相互作用的媒介， 用一组节点相互作用的数值矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。
载荷 有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通 过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析-基本概念
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1-2 有限元法基本思想
• 先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点 相互连接；----即原始连续求解域用有限个单元的集合 近似代替 • 对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函 数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物 理量来表示----通常称为插值函数或位移函数 • 基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即 单元刚度方程） • 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体 的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形 方程组，引入边界条件求解该方程组即可。 有限元分析-基本概念
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通过在单元内假设不同的插值函数，建立不同 的单元模型，适应各种各样的变形模式和受力 模式
F F
X 有限元分析-基本概念
X
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(2) 分析单元的特性，建立单元刚度矩阵 ◊ 进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力（表面 力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷； ◊ 采用有关的力学原理建立单元的平衡方程，求得单元内节 点位移与节点力之间的关系矩阵-------单元刚度矩阵。
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磁场分布
分析卫星、飞船在轨运行时磁场的影响
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工程问题的三种解决方法: (1) theoretical analysis (exact solutions) (2) numerical methods : a, Finite element method, b, Finite difference method, c, Boundary element method; (3) experimental techniques (optical,electrical,…)
三维单元
P M L N K J O
I
I
J
I
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单元类型 现代设计方法
单元图形
节点数
节点自由度
杆单元 梁单元 平面单元
典 型 单 元 类 型
2 2 3 4 3 4 4
1 3 2 2 2 3 3
平面四边形
轴对称问题 板壳单元 四面体单元
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按照单元结构特点和受力特点，可将单元划分为： 1）桁架杆单元：主要应用于受轴向力作用的杆和杆 系，如桁架结构； 2）刚架杆单元：用于梁及刚架结构分析； 3）三角形平面单元：主要用于弹性力学中平面应力 和平面应变问题的有限元分析； 4）三棱圆环单元：用于轴对称问题的有限元分析； 5）等参数单元：用于一些具有曲线轮廓的复杂结构。
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A single finite element
Finite element mesh
图1 (a) A general two-dimensional domain of field variable . (b) A three-node finite element defined in the domain, (c) Additional elements showing a partial finite element mesh.
有限元分析-基本概念、梁、柱等称为杆系单元。连接的 点称为节点。 杆系单元为一维单元。 结构离散 一般原则： 杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、 杆件截面尺寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件 即构成单元。
F
单元① 节点1 节点2 节点2
单元②
节点3
分析指导思想
化整为零，裁弯取直，变难为易，先拆后搭
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载荷 节点
单元
载荷
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几个基本概念 1）单元（element） 将求解的工程结构看成是 由许多小的、彼此用点联结的 基本构件如杆、梁、板和壳组 成的，这些基本构件称为单元。 在有限元法中，单元用一 组节点间相互作用的数值和矩 阵（刚度系数矩阵）来描述。
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网架杆件 基本单元 节点位移 基本未知量 单元刚度矩阵
节点平衡及变形协调条件
总刚度矩阵
总刚度方程
引入边界条件
节点位移值
单元内力与节点位移间关系
单元内应力应变
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现代设计方法 有限元求解实例分析
【例1】一根由两段组成的阶梯轴，一端固定，另 一端承受一个轴向载荷F3。这两段的横截面积分 别为A(1)和A(2)，长度分别为L(1)和L(2)，弹性模量 分别为E(1)和E(2) ，求出这两段的应力和应变。已 (1) −4 2 A = 2 × 10 m ， 知数据分别为F =100N，F2=0N ，
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确定总体刚度矩阵[K]的办法 1）直接利用总体刚度系数的定义 在求出整体结构中各节点力与节点位移关系的 基础上获得总体刚度矩阵。此方法只在简单情况下 才能采用。 2）集成法 将整体坐标下的单元刚度矩阵进行迭加而得。 这里所说的迭加不是简单的相加，而是将下角标相 同的刚度系数相加，然后按总码的顺序对号入座。
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【解】 1.离散化 把这根阶梯轴看成是由两个单元组成的，节点 选在截面积突变处，两个单元的连接处是一个节 点，该阶梯轴的两端视为另外两个节点，所以整个 结构共有三个节点。这根轴是一维结构，并只受轴 向载荷，因此各单元内只有轴向位移。三个节点位 Φ 2、Φ 3 。在整个结构中节 置的位移量分别记为Φ1 、 点载荷及节点位移均用大写字母标记，其角标为节 点在总体结构中的编码，简称总码。
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华中科技大学 国家CAD支撑软件工程技术研究中心 黄正东 zdhuang@
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有限元方法——概述
• 了解有限元在工程中应用 • 了解有限元分析的基本思想 • 求解有限元问题的过程
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1-1 有限元法工程应用场景
(e) [ ] K 单元刚度矩阵 是由单元节点位移量 [Φ] 求单元节点
( e)
(e) 力 [F] 向量的转移矩阵，其关系式为:
{F }( e ) = {K }( e ) {Φ}( e )
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3. 整体分析 ◊ 把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，以 及将各单元的节点力向量集成总的力向量，求得整体 平衡方程。 集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程： [K]是由整体节点位移向量 [Φ ] 求整体节点力向量 [F ] 的转移矩阵，其关系式为 {F } = {K }{Φ}，这就是总体 平衡方程；
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其中， 能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何 边界相当规则的少数问题。
而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的 数值解法，以求出近似解。 传统方法要对一个实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、连 续性假设等，然后通过经典理论方法得出问题的解析解，可得出实际 问题的连续解，比如用方程描述三峡大坝某一点的位移和应变，但这 样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。这对于精度要求不高的 领域是可以的，但对于有些领域，就不能满足实际的需要了。
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1-3 有限元法过程