分段函数在分段点处的导数的求法
摘要：
分段函数又是函数中的一个难点。
利用导数定义求分段函数在分段点处的导数。
必须用导数的定义来判断该点的可导性。
分段点，分段函数在分段点处的导数的求法。
关键词：分段函数，分段点，导数
高等数学研究的对象是函数，分段函数又是函数中的一个难点。
一般教科书中只是在函数的定义之后给出了分段函数的一些简单介绍，并没有对分段函数进行严格地定义。
对其特征、性质等都没有作出具体说明并且其后的有关知识对于分段函数应该如何处理，也没有明确指出。
正是由于上述原因，对分段函数及其有关性质、处理方法难以把握。
分段函数是指在自变量变化的不同区间上，它有不同的表达式，而在整个自变量的变化区间上，它是一个函数。
分段函数的分段点是指函数自变量的某一取值，函数在该点与在其它部分有不同的表达式。
分段函数有多种形式，但对每一个分段点而言，最常见的分段函数可归结为以下两种形式：
，，
其中为函数的分段点。
在高等数学教学中，分段函数求导是学生学习的一个难点。
对于分段函数的求导，关键在于分段点处导数的计算。
一般高等数学教材在给出导数的定义后，都会给出可导的必要条件，;;可导必连续;;，这一必要条件的另一种说法：不连续一定不可导.利用这一必要条件，往往极易判断出函数在分段点的可导性。
1．若分段函数在分段点处不连续，则在分段点处必不可导。
例1 设，讨论在处是否可导？
解：，，由于，可得在处不连续，则在处不可导。
以下讨论，我们总假定分段函数在分段点处是连续的。
2．利用导数定义求分段函数在分段点处的导数。
分段函数在分段点处的导数一般通过定义来求解，即讨论在分段点处的左、右导数来获得。
在处可导的充要条件是左导数和右导数均存在且相等，即（为常数）。
例2 设，讨论在处是否可导？
解：，，
由，可得在处可导，且。
论文发表，分段点。
例3 设，讨论在处是否可导？
解：，，
因为，所以在处不可导。
3．利用导数极限定理求导
例4 设，讨论在处是否可导？
解法一：利用导数的定义，
，。
论文发表，分段点。
由，得到在处可导。
在教学过程中，我们常会发现一些学生是按照以下方式来做的。
解法二：
当时，，；当时，，。
于是，因此且有。
论文发表，分段点。
分析: 解法一是正确的，解法二虽然得到了和解法一相同的结论，但是在最后一步，由，推出，学生是将分段连续函数在分段点的导数看作导函数在该点的极限值，这样是否成立呢？我们看下面这个例子。
例5 设，讨论在处是否可导？
错误的解法：
由不存在，故在不可导。
事实上，在处可导，且。
这是因为在处，由导数定义
，故在可导。
显然用不存在来说明在不可导是错误的。
因此，分段连续函数在分段点的导数看作导函数在该点的极限值是有条件的。
我们知道若函数在点处连续，则函数在该点的极限值与函数值相等，即有成立。
所以，当已知的导函数在点处连续时，将函数在点处的导数看作导函数在点处的极限值是成立的。
定理 1 设在分段点处连续，且在的空心邻域内可导，则（1）当(为常数) 时，则在处可导，且;
（2）当与都存在但不相等时，则不存在。
证明：（1）因为分段函数在分段点处连续，且在的空心邻域内可导，由拉格朗日中值定理有：
当时，在开区间内至少有一点，使。
论文发表，分段点。
当时，得到，则。
当时，在开区间内至少有一点，使
，
则。
即在处的左右导数存在且相等，故在处可导，且。
此时在处连续。
（2）由（1）的证明知，与都存在但不相等时，在处的左、右导数存在，但不相等，故在处不可导。
定理 2 设分段函数在处连续，在内可导，若存在，则在分段点处可导，且。
论文发表，分段点。
证明：因为
，
，而存在，即，所以，故在处可导，且。
注意：定理1、2的逆命题不成立。
论文发表，分段点。
即如果分段
函数在分段点处连续，且在的空心邻域内可导，但与至少
有一个不存在或不存在时，可能存在，也可能不存在。
此时应该采用导数的定义判定。
现在我们利用定理1和定理2来分析以上列举的分段连续函数例2-例5在分段点处的可导性。
例2、3和例4都是属于定理1的应用情形。
在例2中，；在例4中，，所以导函数分段点的极限值可看作是在该点的导数。
在例3中，由于，故根据定理1，可判定在不可导。
例5是属于定理2中不存在的情形，此时应用导数的定义判断。
对于分段函数在分段点的求导问题，首先判定函数在分段点处的连续性，若不连续则不可导。
若分段函数在分段点处连续，可应用定理1和定理2来判定。
定理1和定理2具有计算较为简便、实用性强，且这种方法易于被学生接受，对帮助学生开拓思维有一定益处。
在定理的使用中，要注意到定理的局限性，当导函数在分段点两侧左右极限不都存在时，必须用导数的定义来判断该点的可导性。
参考文献
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