素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 倍角公式和半角公式
知识讲解 一、倍角公式 sin22sincos；
2222cos2cossin12sin2cos1
22tantan21tan
3sin33sin4sin；3cos34cos3cos；
3
23tantantan313tan
二、半角公式
1cossin22；1coscos22；
1cos1cossintan21cossin1cos
三、万能公式
22tan2sin1tan2
；221tan2cos1tan2；
2
2tan2tan1tan2
四、公式的推导 sin2sin()sincoscossin2sincos 22cos2cos()coscossinsincossin
再利用22sincos1，可得：
2222cos2cossin2cos112sin
2
tantan2tantan2tan1tantan1tan
素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 22sinsin
1cos22tan21coscoscos22
sin2sinsin1cos222tan2sincos2sincos222
sin2cossinsin222
tan21coscos2coscos222
【说明】这里没有考虑
cossin022，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出
来单独讨论一下． 五、综合运用 1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用 1）并项功能： 2221sin2sincos2sincos(sincos) 2）升次功能 ： 2222cos2cossin2cos112sin 3）降次功能： 221cos21cos2cos,sin22 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有： 1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452,
22
ππ2()()44
222
ππππππ244362
π3ππ2ππ5ππ
443366
素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦
是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值， 例如：2222
ππππ
1sincossectansintan2sin2sin2464；
4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos2，21cos2sin2但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如221cos22cos,1cos22sin；
21sin2(sincos)；
5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tantantan()(1tantan)m； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式
22 sincossinyabab的应用，其中tanba，
所在的象限由,ab的符号
确定． 素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 典型例题 一．填空题（共1小题） 1．（2012•北京模拟）如果函数y=cos2ωx﹣sin2ωx的最小正周期是4π，那么正数ω的值是 ． 【解答】解：因为函数y=cos2ωx﹣sin2ωx=cos2ωx，它的最小正周期是4π，所以，
解得ω=．
故答案为： 二．解答题（共12小题） 2．（2018春•晋江市校级期中）已知向量、是两个相互垂直的单位向量，向量=2﹣，=﹣+2． （1）求以及向量在向量方向上的投影； （2）设向量与的夹角为α，求tan2α； （3）若t∈R，求|﹣t|的最小值． 【解答】解：（1）分别以、的方向为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则=（2，﹣1），=（﹣1，2）， 所以•=﹣2﹣2=﹣4，||=||=， 故向量在向量方向上的投影 素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 为||cos＜，＞==﹣； （2）cosα==﹣，
由α∈[0，π]，可得sinα==， 则tanα==﹣，
tan2α===﹣； （3）由（1）﹣t=（2+t，﹣1﹣2t）， |﹣t|2=（2+t）2+（﹣1﹣2t）2=5t2+8t+5
=5（t+）2+， 当t=﹣时，|﹣t|取得最小值． 素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 3．（2018•辽宁模拟）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x． （Ⅰ）求f（）的值； （Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2cos2x+sin2x，
f（）=2cos+sin2==﹣﹣﹣﹣（5分） （Ⅱ）f（x）
=2cos2x+sin2x=2cos2x+=， 所以f（x）的最大值为2，最小值为﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
4．（2017春•殷都区校级期末）已知函数f（x）=sin2（x+）﹣cos2x﹣（x∈R）． （1）求函数f（x）最小值和最小正周期；
（2）若A为锐角，且向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，求cos2A． 素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 【解答】解：（1）由题意得，f（x）=﹣﹣ =cos2x﹣1=， ∴函数f（x）最小值是﹣2，最小正周期T==π； （2）∵向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，
∴1+5f（﹣A）=0，则1+5[]=0， ∴=＞0，
∵A为锐角，∴，则素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 ， ∴==，
则cos2A=cos[（）﹣]=+ =×+=． 5．（2017•青羊区校级模拟）设a，b，c分别是△ABC三个内角∠A，∠B，∠C
的对边，若向量，，且． 素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 （1）求tanA•tanB的值；
（2）求的最大值． 【解答】解：（1）由得，， 即4cos（A﹣B）=5cos（A+B），解得，． （2）因为=， 又
=
， 所以，tan（A+B）有最小值，当且仅当时，取得最小值． 素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 又tanC=﹣tan（A+B），则tanC有最大值，故的最大值为． 6．（2015秋•硚口区期末）当α≠（2k+1）π，k∈Z时，等式恒成立，我们把这个恒等式叫“半角公式”． （1）证明上述半角公式；
（2）若α，β都是锐角，，试求的值． 【解答】解：（1）右边==左边，
（2）∵α，β都是锐角，⇒， ∵0＜α+β＜π⇒， ∴sinβ=sin（α+β﹣α）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）
sinα=， ∴，