3 .
版 数 学
第三章 三角恒等变换
• [分析]
巧妙利用“1”的变形，或变形运
人 教 B
用公式C(2α)求解．
版 数 学
第三章 三角恒等变换
[解析] 解法一：左边＝ssiinn22θθ＋＋11－＋ccooss22θθ
＝22ssiinnθθccoossθθ＋＋22csoins22θθ＝csoinsθθccoossθθ＋＋ssiinnθθ
版
(2)当 x∈0，π2时，求 g(x)＝12f(x)＋sin2x 的最大值和最
数 学
小值．
第三章 三角恒等变换
[解析] f(x)＝t4acnosπ44＋x－x2·scions22π4x－－x1
＝41t＋anc24πo＋s2xx2·c－os22c4πo＋s2xx－ 1
第三章 三角恒等变换
解法三：左边＝11＋ ＋ssiinn22θθ－ ＋ccooss22θθ
＝ssiinn22θθ＋ ＋ccooss22θθ＋ ＋22ssiinnθθ··ccoossθθ－ ＋ccooss22θθ－ －ssiinn22θθ
人 教
B
＝ssiinnθθ＋ ＋ccoossθθ22－ ＋ccoossθθ＋ ＋ssiinnθθccoossθθ－ －ssiinnθθ
人 教 B 版
数
又 0<α<2π，0<β<2π，故 0<α＋2β<32π，
学
从而由 tan(α＋2β)＝－1，得 α＋2β＝34π.
第三章 三角恒等变换
解法二：∵tanβ＝12，∴tan2β＝1－2tatannβ2β
＝21× －1214＝43.
人 教 B 版
数
∴tan(α＋2β)＝1t－antαa＋nαt·atann22ββ
版 数 学
＝ssiinnθθ＋ ＋ccoossθθssiinnθv＋＋ccoossθθ＋＋scionsθθ－－csoinsθθ
＝ssiinnθθ＋＋ccoossθθ··22csoinsθθ＝tanθ＝右边．
第三章 三角恒等变换
• [点评] 以上几种方法大致遵循以下规律：
首先都是由复杂端向简单端转化；其次是 人
即12(cos2α－sin2α)＝16，
人
教
所以 cos2α＝13.
B 版 数 学
由 2α∈(π，2π)得 sin2α＝－232，
所以
sin4α＝－4 9
2 .
第三章 三角恒等变换
• [点评] 对于给值求值问题，即由给出的
某些角的三角函数值求另外一些角的三角
函数值，关键在于“变角”，使“目标角”
变换成“已知角”．若角所在的象限没有 人
[解析] (1)解法一：∵x∈π2，34π，
∴x－4π∈π4，π2，
人
教
∴sinx－4π＝ 1－cos2x－π4＝7102.
B 版 数 学
sinx＝sinx－4π＋4π＝sinx－4πcosπ4＋cosx－π4sinπ4
版 数 学
＝ 2sin2x＋4π. ∵x∈0，2π，∴4π≤2x＋4π≤54π， ∴g(x)max＝ 2，g(x)min＝－1.
第三章 三角恒等变换
设函数 f(x)＝a·b，其中向量 a＝(2cosx,1)，b＝(cosx， 3
人
sin2x)，x∈R.若 f(x)＝1－ 3且 x∈－3π，π3，求 x.
(2)∵x∈π2，34π，∴cosx＝－ 1－sin2x＝－ 1－452＝－35.
第三章 三角恒等变换
sin2x＝2sinxcosx＝－2245，cos2x＝2cos2x－1＝－275.
∴sin2x＋3π＝sin2xcosπ3＋cos2xsin3π
人 教
B
＝－24＋507
教
确定，则应分情况讨论．应注意公式的正
B 版
用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，
数 学
还要掌握拆角、拼角等技巧．
第三章 三角恒等变换
已知 cosx－π4＝102，x∈2π，34π.
人
教
(1)求 sinx 的值；
B 版
数
(2)求 sin2x＋π3的值．
学
第三章 三角恒等变换
人 教 B 版 数 学
＝sinπ4＋coxsc22oxs4π＋x＝12sicnoπ2s2＋2x2x
第三章 三角恒等变换
＝1cos22x ＝2cos2x. 2cos2x
∴(1)f－1172π＝2cos176π＝2cos56π＝－ 3.
人 教
B
(2)g(x)＝12f(x)＋sin2x＝cos2x＋sin2x
＝ 2cos2α－1
1＝－2sin2α .
人 教
B
版
数
学
• T2α：tan2α＝
.
第三章 三角恒等变换
人 教 B 版 数 学
第三章 三角恒等变换
重点：倍角公式的推导及应用．
难点：倍角公式及其等价变式的灵活应用．
1．在公式 S2α，C2α 中，α 是任意角，但公式 T2α 中，只
人
有当 α≠kπ＋2π及 α≠4π＋k2π(k∈Z)时才成立．
人
教
＝tanθ＝右边．
B 版
数
学
解法二：左边＝ssiinn22θθ＋ ＋ccooss22θθ＋ ＋ssiinn22θθ＋ ＋scions22θθ－－csoins22θθ
＝ssiinn22θθ＋＋22csoins22θθ
＝22csoinsθθssiinnθθ＋＋ccoossθθ＝tanθ＝右边．
第三章 三角恒等变换
人
• 3．2 倍角公式和半角公式
教 B 版
数
学
第三章 三角恒等变换
人
• 3.2.1 倍 角 公 式
教 B 版
数
学
第三章 三角恒等变换
人 教 B 版 数 学
第三章 三角恒等变换
• 二倍角的正弦、余弦、正切公式：
• S2α：sin2α＝ 2sinαcosα .
• C2α：cos2α＝ cos2α－sin2α
数 学
缩角升幂、扩角降幂的作用．
第三章 三角恒等变换
①1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2(升幂公式)．
②cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α(降幂公式)．
人
教
③1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α 经常用于消除
B 版
数
学
式子中的“1”．
C2α 公式的不同形式的逆用，在三角函数的化简、求值、 证明中应用广泛．
第三章 三角恒等变换
人 教 B 版 数 学
第三章 三角恒等变换
人 教 B 版 数 学
第三章 三角恒等变换
[解析] 解法一：因为 sin4π＋α·sinπ4－α
＝sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，
人
教
B
从而 sinα＝ 1－cos2α＝7102.
版 数 学
同理可得 sinβ＝ 55.∴tanα＝7，tanβ＝12. ∴tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝1－7＋7×12 12＝－3.
第三章 三角恒等变换
(2)解法一：tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝1－－－3＋312×12＝－1.
人
教
所以 sinπ2＋2α＝13，即 cos2α＝13.
B 版 数 学
因为 α∈2π，π，则 2α∈(π，2π)，
所以 sin2α＝－ 1－cos22α＝－23 2，
于是
sin4α＝2sin2αcos2α＝－4 9
2 .
第三章 三角恒等变换
解法二：由条件得 22(cosα＋sinα)·22(cosα－sinα)＝16，
教 B 版 数
学
第三章 三角恒等变换
[解析] 依题设 f(x)＝2cos2x＋ 3sin2x
＝1＋cos2x＋ 3sin2x＝1＋2sin2x＋6π，
由 1＋2sin2x＋6π＝1－ 3
人 教 B 版
数
得
sin2x＋6π＝－
3 2.
学
∵－π3≤x≤π3，∴－2π≤2x＋6π≤56π，
为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别
人 教
B
与单位圆交于A、B两点．已知A、B的横
版 数
坐标分别为
学
• (1)求tan(α＋β)的值；
• (2)求α＋2β的值．
第三章 三角恒等变换
[解析] (1)由已知条件及三角函数的定义可知 cosα＝
102，cosβ＝2 5 5，
∵α 为锐角，sinα>0，
人 教 B 版
数
sinα2＝2sinα4cosα4，cosα3＝cos2α6－sin2α6.
学
4．由于 sin2x＝2sinx·cosx，
从而 1±sinx＝sin2x±cos2x2，可用于无理式的化简及运算．
第三章 三角恒等变换
5．要熟悉公式的逆用．如
sin3α·cos3α
＝
1 2
sin6α.4sinα4·cosα4＝22sinα4·cosα4＝2sinα2，S
• [点评] (1)求三角函数最值问题，除了利
用三角函数的有界性外，配方法、换元法、
人 教
函数单调性法都是常用方法，但应用时要
B 版
数
注意三角函数的取值范围．(2)函数最值和 学
实际应用题是高考热点，题型一般是选择、
填空题，但中档难度的解答题也不容忽
视．
第三章 三角恒等变换
• 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴
∴sinα－cosα＝ sinα－cosα2
人 教
B