第一部分 相似三角形模型分析 一、相似三角形判定的基本模型认识
（一）A字型、反A字型（斜A字型） A
BCDE
（平行） CBADE（不平行） （二）8字型、反8字型
JO
A
DB
C
A
B
CD（蝴蝶型） （平行） （不平行）
（三）母子型
A
BC
D C
AD
（四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： （六）双垂型： CAD 二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A字型旋转得到。 8字型拓展
CBEDA共享性GABCEF
一线三等角的变形 一线三直角的变形 第二部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E． 求证：OEOAOC2．
例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABCDEB． 求证：（1）DADEDB2； （2）DACDCE．
例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F． 求证：EGEFBE2．
相关练习： 1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FCFBFD2．
A C D E
B 2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB
3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。 求证：EB·DF=AE·DB
4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EFBC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。 求证：GBM90
5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：AE=2PE； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积． A C B P
D E （第25题图）
GMFEH
DCB
A EDCAB
双垂型 1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高 求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED
2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。
EDABC 共享型相似三角形 1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边
长.
A
BCDE
2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°． 求证：（1）△ABE∽△ACD； （2）CDBEBC22．
DEABC 一线三等角型相似三角形
例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当BD=1，FC=3时，求BE
例2：（1）在ABC中，5ACAB，8BC，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持ABCAPQ. ①若点P在线段CB上（如图），且6BP，求线段CQ的长； ②若xBP，yCQ，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线．．CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持90APQ.当1CQ时，求出线段BP的长.
例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．
A B C 备用图
A B C D C A D B E F A B C D A B C P Q A B C 备用图 A B C D
C D A B P （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE＝1时，写出AP的长．
CBAD
CBAD
例4：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，6ABCDBC，3AD．点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．
（1）求证：△MEF∽△BEM； （2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； （3）若EFCD，求BE的长． 相关练习： 1、如图，在△ABC中，8ACAB，10BC，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且CADE．
(1) 求证：△ABD∽△DCE； (2) 如果xBD，yAE，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域； (3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．
2、如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作DEFB，射线EF交线段AC于F． （1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长； （3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点． （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 ①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当BEPDMFSS49时，求BP的长．
FBACD
E
E D C B A
P （第25题
E D C B A
（备用图）
A B C D
E 4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，1CF，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线,EGFG交直线AC于点,MN， （1）写出图中与BEF相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似； （3）设,BExMNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （4）若1AE，试求GMN的面积．
一线三直角型相似三角形 例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作CPPE，交边AB于点E,设yAExPD,，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。
例2、在ABC中，OBCACC,3,4,90o是AB上的一点，且52ABAO，点P是AC上的一个动点，OPPQ交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设yCQxAP,，试求y关于x的函数关系，并写出定义域。
备用图 EBC
ADP 【练习1】 在直角ABC中，43tan,5,90BABCo，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DEDF交射线AC于点F （1）、求AC和BC的长 （2）、当BCEF//时，求BE的长。 （3）、连结EF,当DEF和ABC相似时，求BE的长。
【练习2】 在直角三角形ABC中，DBCABC,,90o是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C
不重合），DFDEDF,与射线BC相交于点F. (1)、当点D是边AB的中点时，求证：DFDE (2)、当mDBAD，求DFDE的值
（3）、当21,6DBADBCAC，设yBFxAE,,求y关于x的函数关系式，并写出定义域
QCBA
O
P
FDCB
AE
FDCB
AE