一线三等角相似
一．一线三直角
1.如图，住平面直角系中，直线AB ：()4
40y x a a
=
+≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥
x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC
⊥时
(1)求证：ABO ∆∽BCD ∆；
(2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是13
16
y x b =-
+，求tan BAC ∠的值．
2.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P ，三角板两直角中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ．
（1）判断△EAP 与△PDC 一定相似吗？请证明你的结论；
（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）是否存在这样的点P ，是△EAP 周长等于△PDC 周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由．
E P
D
C
B
A
3.如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P 为垂足，PE交DC于点E，
(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.
解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180°
∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D
又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90°，
又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE，
∴△ABP∽△DPE
∴，即
∴
(2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即，解得
∵，∵均符合题意，故AP=1或4.
4.（2018上海，23，12分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF ⊥AP，垂足分别是点E、F．
（1）求证：EF=AE-BE；
（2）联结BF，如果，求证：EF=EP．
【思路分析】（1）证∴△BEA与△AFD全等即可（2）运用相似得比例，从而得到△BFP是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可得．
【解答过程】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BAE+∠DAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，
在△BEA与△AFD中，，∴△BEA≌△AFD，∴BE=AF，
∴EF=AE-AF=AE-BE
(2) 在△AFD与△PEB中
∵∠DAF=∠BPE, ∠BEP=∠DFA=90°，∴△AFD∽△PEB，∴
∵且AF=BE，∴即
∵，∴BF=PB
在等腰三角形BFP中，∵BE⊥FP，∴EF=EP
二．等腰三角形中底边上一线三等角
1.已知在等腰∆ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B, （1）求证：
DF
DE
CD BE =
（2）求证：∆BDE ∽∆DFE
2.已∆ABC是等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，∠EOF=45°
（1）求证：∆AOE∽∆BFO
（2）若AB=4,求AE•BF
如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作DEF B
∠=∠，射线EF交线段AC于F．
（1）求证：△DBE∽△ECF；
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
B
C (备用图)
3.已知：∆ABC 中，点D 为边BC 上一点，点E 在边AC 上，且∠ADE=∠B （1）如图1，若AB=AC ，求证：AC BD
CD CE =
（2）如图2，若AD=AE ，求证：AE
BD
CD CE =
如图，在菱形ABCD 中，∠D=60°,E 为AB 的中点、 (1)如图1,连接EC,求证：EC ⊥CD;
(2)如图2,连接ED,作∠BED 的角平分线交BC 于点F,求
CF
BF
的值。
二.等腰梯形中的一线三等角
1.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD=BC=6,AD=3..点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,联结EF.
(1)求证：∆MEF~∆BEM;
(2)若∆BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；
(3)若EF⊥CD,求BE的长.
2.已知在梯形ABCD中，AD//BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.
(1)如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A.
①求证：△ABP∽DPC
②求AP的长.
(2)如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合）,
且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE=1时，写出AP的长（不必写出解题过程）.
3.四边形ABCD 中，AD ∥BC ，()
090ABC αα∠=<<，3AB DC ==，5BC =．点P 为射线BC 上动点（不与点B 、C 重合），点E 在直线DC 上，且APE α∠=．记1PAB ∠=∠，2EPC ∠=∠，BP x =，CE y =．
（1）当点P 在线段BC 上时，写出并证明1∠与2∠的数量关系；
（2）随着点P 的运动，（1）中得到的关于1∠与2∠的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x 的取值范围；
（3）若cos α=13
，试用x 的代数式表示y ．
4.如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5,AB DC ==AD =2，BC =8，MEN B ∠=∠． MEN ∠的顶点E 在边BC 上移动，一条边始终经过点A ，另一边与CD 交于点F ，联接AF ．
（1）设y DF x BE ==,，试建立y 关于x 的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）若AEF △为等腰三角形，求出BE 的长．
N M D F E C
B A
5.梯形ABCD,AD∥BC,AB=CD=5，AD=3.5，sinB=4
5
,E 在AB边上，BE=3，P是BC上动点，联结EP
做∠EPF=∠B.射线PF与AD边交于F，与CD的延长线交于G，设BP=x，DF=y （1）求BC的长。
（2）求y与x的函数关系式及其定义域。
（3）联结EF，如果△PEF是等腰三角形，求BP的长。