l1( x)
(x ( x1
x0 x0
)( )(
x x2 ) x1 x2 )
l2 ( x)
(x ( x2
x0 x0
)( )(
x x1 ) x2 x1 )
二次插值函数: P(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2
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拉格朗日方法
插值条件:P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
P(x )=y 2020/10/6 n
n
a0 a1 xn an xnn yn
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范德蒙(Vandermonde)矩阵
1
x0
A
1
x1
1 xn
x0n
x1n
xnn
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已知函数表求满足:
P(x0)=y0 和 P(x1)=y1 的线性函数 P(x)。
x y
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趣例4: 工业设计
先是雷诺和雪铁龙工作的 Paul de Casteljau 和Pierre Bézier, 随后美国通用汽 车的其它人一起推动了现在称为三次样条和Bézier 样条的建立。样条是通过很少 的控制点就能够生成复杂平滑曲线的方法。
参考: /
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P( x) l0 ( x) y0 l1( x) y1
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P( x) l0 ( x) y0 l1( x) y1
l0( x)
x x1 , x0 x1
l1( x)
x x1
x0 x0
1
x x1 1
x0 x1
P( x) y0 (1 ) y1
P( x) l0 ( x) y0 l1( x) y1 ln ( x) yn
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线性插值函数
(x0 ，y0)
(x1，y1) P(x)
x0
可见 是过
和
x1
两点的直线。
10
抛物插值函数
x0
x1
x2
因过三点的二次曲线为抛物线,故称为抛物插值。
11
考虑区间[a , b]上(n+1)个点a ≤x0＜x1＜···＜xn≤b。
如果 P(x)=a0 + a1x +···+ anxn
求函数 P(x)=a0 + a1x + a2 x2 满足:
P(x0)=y0 , P(x1)=y1, P(x2)=y2
P(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 x x0 x1
y0 P( x0 ) 1 y0 0 y1 0 y2 l0(x) 1
0
y1 P( x1 ) 0 y0 1 y1 0 y2
满足 P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
插值条件
则称 P(x) 为 插值多项式, 称 x0, x1, ···, xn为 插
值节点。
由插值条件
P(x0)= y0 P(x1)=y1 ············
a0 a1 x0 a0 a1 x1
an x0n an x1n
y0 y1
x0 y0
过两点直线方程
P(x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
P(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
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x1 y1
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The voyage of discovery is not in seeking new landscapes but in having new eyes.
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趣例5: 游戏与电影
Ref:20h2t0t/1p0:/6///art/movies/462393-special-effects-dawnplanet-apes/
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数据和插值函数
如果一个函数P(x)满足P(xi) =yi (i=0,…, n), 那么 函数P(x)插值了一系列数据点(x0,y0 ), ···(xn,yn )， 其中P(x)称为插值函数,点x0 , ···,xn称为插值节点。
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已知函数表求满足:
x
P(x0)=y0和P(x1)=y1 y
的线性函数 P(x)
x0 y0
x1 y1
过两点直线方程
P(x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
引例 求 115 的近似值 真实值: 10.7238
115 10 11 10 (115 100) 10.7143 121 100
---- Marcel Proust
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P(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
记
l0( x)
x x1 , x0 x1
l1( x)
x x1
x0 x0
x
x0
x1
l0(x) 1
0
l1(x) 0
1
y0 P( x0 ) 1 y0 0 y1, y1 P( x1 ) 0 y0 1 y1
趣例1: 图像放大
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1/60
2020/10/6
2/60
趣例2: 图像修复
2020/10/6
Non-damaged
Damaged
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趣例3: 数据可视化
/talks/david_mccandless_the_beauty_of_data_vis ualization?language=zh-cn
y2
P( x 2020/10/6 1
)
0 y0
0 y1
1 y2
l1(x) 0 l2(x) 0
1 0
x2 0 0 1
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x x0 x1 x2 l0(x) 1 0 0 l1(x) 0 1 0 l2(x) 0 0 1
l0 (
x)
(x ( x0
x1 )( x1 )(
x x2 ) x0 x2 )
P(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
函数是描述自然界客观规律的重要工具。
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插值函数类的选择:
选择多项式函数的理由: 计算方面多项式函数是计算机最基本的函 数, 计算多项式函数的值只需用加和乘运算, 且 积分和微分均非常方便。 理论方面多项式函数简单明了的数学性质。 有一个简单的原理可以说明什么时候存在给定 次数的插值多项式。
I=imread('yao.png'); J=imread(ha=1:-0.01:0
K=alpha*I+(1-alpha)*J; pause(0.3),imshow(K,[]) end
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二次插值问题
已知函数表 x
x0
x1
x2
y
y0
y1
y2