一次插值
当n 1时，求一次多项式P1(x),要求通过 x0, y0 , x1, y1
两点
y
y0 x0
y1 x1
P1(x) f(x)
二次插值
当n 2时，求二次多项式P2 (x),要求通过 x0, y0 , x1, y1 , x2, y2 三点
y
f(x)
y0 x0
y1 x1
y2 x2
P1(x)
知两点。
线性插值
插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
P1(x)
yk
yk 1 xk 1
yk xk
(x
xk )，把此式按照
yk和yk1写成两项:P1(x)
x xk1 xk xk 1
yk
x xk xk 1 xk
yk
，
1
记l k (x)
x xk1 xk xk 1
, lk1(x)
l
0 ( x)
x 20 10 20
1 10
(x
20)，l1 ( x)
x 10 20 10
1 10
(x
10)
例子
于是，拉格朗日型一次插值多项式为：
P1 ( x)
y0l0 (x)
y1l1 ( x)
1 10
(x
20)
1.3010 10
(x
10)
故P1
(12)
1 10
(12
20)
1.3010 10
(12
决定
1
例子
例1：已知lg10 1 , lg 20 1.3010，利用插值一次 多项式求 lg12的近似值。 解：f (x) lg x，f (x) lg x，f (10) 1，f (20) 1.3010 设x0 10，x1 20，y0 1，y1 1.3010， 则插值基本多项式为：
y2
x0
x1
x2
当 n1 时,求一次多项式
yn-1 xn-1
yn
xn
x
插值法的分类
一，拉格朗日插值法 二，牛顿插值法 三，埃尔米特插值法 四，分段多项式插值法 五，样条插值法
一，拉格朗日插值法
流程：线性插值（一次插值）→二次插值→ n次拉格朗日插值法的方程组法证明→用中国
剩余定理证明拉格朗日插值多项式。
P2 (xi ) yi , i k 1, k, k 1
二次插值基本多项式
问题的提出
插值问题的数学提法：已知函数y f (x)在n 1个 点x0 , x1, , xn上的函数值yi f (xi ), (i 0,1, , n), 求一 个多项式y P(x)，使其满足P(xi ) yi , (i 0,1, , n). 即要求该多项式的函数曲线要经过y f (x)上已知的
其中P(x)为f(x)的插值函数，x0 ,x1 ,…,xn 称为插值节 点，包含插值节点的区间[a,b] 称为插值区间，求插值 函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的 代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法 称为多项式插值。若P(x)是分段的多项式，就是分段 插值。若P(x)是三角多项式，就称三角插值。
x
拉格朗日插值公式
线性插值（一次插值）
已知函数f (x)在区间 xk , xk1的端点上的函数值
yk f (xk ), yk1 f (xk1)，求一个一次函数y P1(x) 使得yk P1(xk ), yk1 P1(xk1)。其几何意义是已知
平面上两点 xk , yk , xk1, yk1 ，求一条直线过该已
n 1个点 x0, y0 , x1, y1 , , xn , yn ,同时在其他x a,b
上要估计误差R(x) f (x) P(x)
n1
个点
x0 , y0 , x1, y1 , , xn, yn ,
同时在其它
插值问题 上要估计误差
R(x) f (x) P(x)
y
。
f(x)
P(x)
y0
y1
为什么要插值
1.在工程技术和科学研究中，有时对一个函数 f(x)只能通过实验或观测的手段得到它在某个 区间[a,b]上的有限个不同点上的函数值，也就 是只知道一张函数表，却没有明确的表达式。
2.虽然函数有明确的表达式，但由于形式复杂， 不便于计算和使用，所以人们往往希望做出一 个既能反映函数的特性，又便于计算的简单函 数P(x)去近似替代f(x)。
10)
1.0602
即lg12由lg10 和lg 20 两个值的线性插值得到，且
具有两位有效数字（精数y
f
(
x)在点xk
1
,
xk
,
xk
上的函数值
1
yk1 f (xk1) , yk f (xk )，yk1 f (xk1)。
求一个次数不超过二次的多项式P2 (x)，使其满足
插值法的概念
已知函数在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值 yi=f(xi ), (i=0,1,…,n) ，求一个简单函数y=P(x),使其满 足: P(xi )=yi ,(i=0,1,…,n) 。即要求该简单函数的 曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个 点： (x0 ,y0 ),(x1 ,y1 ),…,(xn ,yn ),同时在其它 x∈[a,b]上要估计误差: R(x) = f(x) - P(x)
x xk xk 1 xk
，
称它们为一次插值基函数。
线性插值
基函数的特点： lk1(x)
lxkk(x1 )
xk
lk (x)
1
xk 1
0
lk 1 ( x)
0
1
从而，P1(x) yklk (x) yk1lk1(x), 此形式称之为 拉格朗日型插值多项式。其中，插值基函数与
yk、yk
1无关，而由插值结点xk、xk
（1）基本多项式为二次多项式；
（2）它们的函数值满足下表：
xk 1
lk 1 ( x)
1
lk (x)
0
lk 1 ( x)
0
xk
xk 1
0
0
1
0
0
1
拉格朗日型二次插值多项式
由前述，拉格朗日型二次插值多项式： P2 (x) yk1lk1(x) yklk (x) yk1lk1(x)，P2 (x)是 三个二次插值多项式的线性组合，因为它是次数 不超过二次的多项式，且满足：
P2 (xk1)
yk1，P2 (xk )
yk，P2 (xk1)
yk
。
1
其几何意义为：已知平面上的三个点：
xk1, yk1 ， xk , yk , xk1, yk1 ，求一个二次
抛物线，使得该抛物线经过这三点。
二次插值基本多项式
有三个插值结点xk
1
,
xk
,
xk
，构造三个插值
1
基本多项式，要求满足： lxkk(1x1()x)