第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心. 与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB 于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN 的对称点P′.试证：P′点在△ ABC外接圆上.（杭州大学《中学数学竞赛习题》）分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′ =NP=NC，故点M 是△ P′BP 的外心，点N 是△ P′PC的外心. 有11∠BP′P= 1 2∠ BMP= 1∠BAC，22 11∠ PP′C= ∠ PNC= ∠BAC.22 ∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC. 从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ ABC外接圆上. 由于P′P平分∠ BP′C，显然还有P′B:P′C=BP:PC.例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△ APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ ABC 相似.（ B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》）分析：设O1，O2，O3 是△APS，△BQP，△CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知∠PO1S=2∠A，∠QO2P=2∠B，QC∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠ O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△ O2QO3绕着O3点旋转到△ KSO3，易判断△ KSO1≌△ O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△ O1KO3.1∴∠ O2O1O3=∠KO1O3= ∠O2O1K21( ∠ O2O1S+∠ SO1K)2 1= ( ∠ O2O1S+∠ PO1O2)1= 1∠ PO1S=∠ A；2同理有∠ O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ ABC.、重心两边各扩大 3 倍，有 S △PBE =S △PAD +S △PCF .例 4 ．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似 . 其逆亦真 .分析：将△ ABC 简记为△，由三中线 AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′ .G 为重心，连 DE 到 H ，使 EH=DE ，连 HC ，HF ，则△′就是△HCF.(1) a 2， b 2，c 2 成等差数列 △∽△′ .若△ABC 为正三角形，易证△∽△′ 不妨设 a ≥b ≥c ，有 CF=1 2a 2 2b 2 c 2 ，2BE=1 2c 2 2a 2 b 2 ，2AD=1 2b 2 2c 2 a 2 .2将 a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF= 23a ，BE= 23b ，AD= 23c .∴CF: BE: AD = 3 a : 3b : 3c222= a: b: c.故有△∽△′ .(2) △∽△′ a 2，b 2，c 2 成等差数列 . 当△中 a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD.∵△∽△′， ∴S '＝(CF )2.Sa三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心 . 掌握重心将每 条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式，便于解题 . 例 3 ．( 分AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线， P 是任意一点.证明：在△ PAD ，△ PBE ，△ PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和 . 第 26 届莫斯科数学奥林匹克 ) 设 G 为△ ABC 重心，直线 PG 与 AB ，BC 相交. 从 A ，C ，D ， 作该直线的垂线，垂足为 D ′，E ′，F ′.易证 AA ′=2DD ′， CC ′ ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有 S △PGE =S △ PGD +S △PGF .E ，F 分别 A ′，C ′， B=2FF ′，2EE ′=AA ′D+CC CP ，A' E据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的3” 4” ，有S ' =3S =4CF 三、垂心 a 2 3a 2=4CF 2=2a 2+b 2- c 2a 2+c 2=2b 2. 三角形三条高的交战， 称为三角形的垂心 . 由三角形的垂心造成的四个等 （外 接） 圆三角形，给我们解题提供了极大的便利 . 例 5．设 A 1A 2A 3A 4 为⊙O 内接四边形， H 1，H 2，H 3，H 4 依次为 △ A 2A 3A 4，△ A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△ A 1A 2A 3 的垂心.求证：H 1，H 2，H 3， H 4 四点共圆，并确定出该圆的圆心位置 . （1992 ，全国高中联赛 ） 分析：连接 A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径 为 R. 由△ A 2A 3A 4 知 A 2H 1 sin A 2 A 3H 1 =2R A 2H 1=2Rcos ∠A 3A 2A A 4；3A 1 A 2 O由△ A 1A 3A 4 得 A 1H 2=2Rcos ∠A 3A 1A 4. 但∠ A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故 A 2H 1=A 1H 2. 易证 A 2H 1∥ A 1A 2，于是， A 2H 1 ∥=A 1H 2，故得 H 1H 2 ∥= A 2A 1.设 H 1A 1与H 2=A 2的交点为 M ，故H 1H 2与A 1A 2关于 M 点 成中心对称=. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于 M 点成中心对称. 故四边形 H 1H 2H 3H 4 与四边形 A 1A 2A 3A 4 关于 M 点成中心对称，两者是全 等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上 .后者的圆心设为 Q ，Q 与 O也 关于 M 成中心对称 . 由 O ，M 两点，Q 点就不难确定了 . 例6．H 为△ ABC 的垂心， D ，E ，F 分别是 BC ，CA ，AB 的中心.一个以 H 为圆 心的⊙ H 交直线 EF ，FD ， DE 于 A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证： AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. （1989 ，加拿大数学奥林匹克训练题 分析：只须证明 AA 1=BB 1=CC 1即可. 设 BC=a ， CA=b ，AB=c ，△ ABC 外 接圆半径为 R ，⊙H 的半径为 r. 连HA 1， AH 交 EF 于 M.A A 12=AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)，①又AM 2-HM 2=(12AH 1)2-(AH- 12AH 1)2AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB-AH 2 =cosA ·bc-AH 2，=2R a 2=4R 2sin 2A. sinA ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2.由①、②、③有222A A 12=r 2+b c a ·bc-(4 R 2- a 2)2bc= 1 ( a 2+b 2+c 2)-4 R 2+r 2. 2 同理，BB 12 =1(a 2+b 2+c 2)-4 R 2+r2，12CC 12=1(a 2+b 2+c 2)-4 R 2+r 2. 2 故有 AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心 . 对于内心，要掌握张角公式，还要记住 下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I=A ′B=A ′ C.换言之，点 A ′必是△ IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用 ). 例 7． ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ， △CDA 的内心 O 1， O 2， O 3， O 4. 求证： O 1O 2O 3O 4为矩形 .(1986 ，中国数学奥林匹克集训题 ) 证明见《中等数学》 1992；4例 8．已知⊙ O 内接△ ABC ，⊙Q 切 AB ，AC 于 E ，F 且与⊙O 内切. 试证：EF 中点 P 是△ABC 之内心 .(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》 ) 分析：在第 20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例 8的一种特例，但它增加了条件 AB=AC. 当 AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然 EF 中点 P 、圆心 Q ，BC 中点 K 都在∠ BAC 平分线上. 易知而 AH =2R sin ABH AH 2=4R 2cos 2A,C O OAQ=r sin∵QK·AQ=MQ·QN，QK= MQ QNAQ (2R r) r= =sinr/sin由Rt△ EPQ 知(2R r). r.∴PK=PQ+QK=sin r+sin (2R r) =sin 2R.∴PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知 P 是△ ABC 这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心 . 旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切 .例 9．在直角三角形中，求证： r+r a +r b +r c =2p.式中 r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与 a ，b ，c 相切的旁切圆半径， p 表示半周 .( 杭州大学《中学数学竞赛习题》 ) 分析：设 Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p( p- c)=( p- a)( p-b).11∵p( p- c)= ( a+b+c) · ( a+b- c)22= 1[( a+b)2-c 2]4 = 1ab ；2 11( p- a)( p-b)= (- a+b+c) · ( a- b+c) 22=1[c 2-( a- b)2]= 1ab.42 ∴p( p- c)=( p-a)( p-b). 观察图形，可得 r a =AF- AC=p- b ，r b =BG- BC=p- a ， r c =CK=p.1而 r= ( a+b- c)2 = p-c.∴ r+r a +r b +r c=( p- c)+( p- b)+( p- a)+ p=4p-( a+b+c)=2 p. 由①及图形易证 .例 10．M 是△ABC 边 AB 上的任意一点 .r 1，r 2，r 分别是△ AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径， q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ ACB 内部的旁切圆r cKO 3 AO 2Or Er bBr a r CO 1r半径. 证明：r 1 r 2 r q 1 q 2 q( IMO-12) 分析：对任意△ A ′ B ′C ′，由正弦定理可知六、众心共圆这有两种情况： (1) 同一点却是不同三角形的不同的心； (2) 同一图形出现了 同一三角形的几个心 .例 11．设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中，AB=BC ，CD=DE ，EF=FA. 试证：(1)AD ， BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA ≥AK+BE+CF.(1991 ，国家教委数学试验班招生试题 ) 分析：连接 AC ，CE ，EA ，由已知可证 AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分 线，I 为△ACE 的内心.从而有 ID=CD=DE ，IF=EF=FA ， IB=AB=BC.再由△ BDF ，易证 BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 等式有： Erdo ..sBI+DI+FI ≥2·(IP+IQ+IS).不难证明 IE=2IP ，IA=2IQ ，IC=2IS. ∴ BI+DI +FI ≥IA +IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2( BI+DI+FI)≥(IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)= AD+BE+CF.I 就是一点两心 .例 12．△ ABC 的外心为 O ，AB=AC ，D 是 AB 中点， E 是△ACD 的重心.证明qr 2=tg 2A tg CMA tgC 2NBtgB q 2222 2r 1q 1A tg 2 tgBr 2q A' OD=OA ′·sin 2 C'= A ′ B= A ′ BB' sin2 sin A'O'B'sin A'O ′E= A ′ ∴OD∴ O'E亦即有A' B' sinsin22 A' B' sin 2B'B ′· tg A 2'tg A' B' cos cos22A' B' sin2 B'2OO 'FQCS IOE 丄 CD.（ 加拿大数学奥林匹克训练题 ） 分析：设 AM 为高亦为中线，取 AC 中点F ，E 必在 DF 上且 DE: EF=2:1. 设 ∵OD 丄 AB ，MF ∥ AB ，∴OD 丄MF OD 丄 GE.但 OG 丄 DE G 又是△ ODE 之垂心. 易证 OE 丄 CD.例13．△ABC 中∠C=30°，O 是外心，I 是内心，边 AC 上的D 点与边 BC 上的E 点使得 AD=BE=AB. 求证： OI 丄 DE ，OI=DE.（1988 ，中国数学奥林匹克集训题 ） 分析：辅助线如图所示，作∠ DAO 平分线交 BC 于 K.易证△ AID ≌△ AIB ≌△ EIB ， ∠AID=∠AIB=∠EIB. 利用内心张角公式，有1∠ AIB=90°+ ∠C=105°，2∴∠DIE=360°-105 °×3=45°∵∠ AKB=30° + 1 ∠DAO2 =301°+ ( ∠BAC- ∠BAO)2 =301°+1(∠BAC-60°)2 =1 ∠BAC=∠BAI=∠BEI. 2AK IE.由等腰△ AOD 可知 DO 丄 AK ， ∴DO 丄IE ，即 DF 是△DIE 的一条高. 同理 EO 是△ DIE 之垂心， OI 丄 DE. 由∠ DIE=∠IDO ，易知 OI=DE.例 14．锐角△ ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心 . 设外心到三边距离 和为 d 外，重心到三边距 离和为 d 重，垂心到三边距离和为 求证： 1·d 垂+2·d 外=3· d 重.分析：这里用三角法 . 设△ABC 外接圆半径为 1，三个内角记为 A ， B ， C. 易知 d 外 =OO 1+OO 2+OO 3=cosA+cosB+cosC ， ∴2d 外=2（ cosA+cosB+cosC ）.CD 交 AM 于 G ，G 必为△ ABC 重心. 连 GE ，MF ，MF 交 DC 于 K.易证：DG:GK=1DC:( 1 32 ∴ DG: GK=DE: EF1) DC=2:1.3 GE ∥MF.A C∵ AH 1=sinB · AB=sinB · (2 sinC)=2 sinB ·sinC ， 同样可得 BH 2·CH 3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和 =2 ·(sinB ·sinC+sinC ·sinA+sinA ·sinB) ② ∴HH 1=cosC ·BH=2·cosB ·cosC.同样可得 HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cosB ·cosC+cosC ·cosA+cosA ·cosB) ③ 欲证结论，观察①、②、③， 须 证(cosB · cosC+cosC · cosA+cosA · cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)= sinB · sinC+sinC · sinA+sinA ·sinB. 即可.练习题1. I 为△ ABC 之内心，射线 AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于 A ′，B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′>△ ABC 周长.（1982 ，澳大利 亚数学奥林匹克 ）2. △T ′的三边分别等于△ T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等 .求证这两 个三角形相似 .（1989 ，捷克数学奥林匹克 ）3. I 为△ ABC 的内心.取△ IBC ，△ICA ，△IAB 的外心 O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3 与△ ABC 有公共的外心 .（1988 ，美国数学奥林匹克 ）4. AD 为△ABC 内角平分线 .取△ ABC ，△ABD ，△ ADC 的外心 O ，O 1，O 2. 则△ OO 1O 2 是等腰三角形 .5. △ABC 中∠C <90°，从 AB 上M 点作 CA ，CB 的垂线 MP ，MQ.H 是△CPQ 的垂心.当M 是 AB 上动点时，求 H 的轨迹.（ IMO-7）16. △ABC 的边 BC= （ AB+AC ） ，取 AB ，AC 中点 M ，N ，G 为重心，I 为内心.试证：过 A ，M ，N 三点的圆与直线 GI 相切.（ 第27届莫斯科数学奥林匹克 ） 7. 锐角△ ABC 的垂心关于三边的对称点分别是 H 1，H 2，H 3. 已知：H 1，H 2，H 3， 求作△ ABC.（ 第 7届莫斯科数学奥林匹克 ）8. 已知△ ABC 的三个旁心为 I 1，I 2，I 3.求证：△I 1I 2I 3是锐角三角形 .9. AB ，AC 切⊙O 于 B ，C ，过 OA 与BC 的交点 M 任作⊙ O 的弦 EF.求证： （1） △AEF 与△ ABC 有公共的内心； （2） △AEF 与△ ABC 有一个旁心重合 .BHsin BCH=2，。