27．两圆圆O1和圆O2相交于M、P，过M作圆O2的切线交圆O1于A；又过M 作圆O1的切线交圆O2于B，在直线MP上截取PH=MP。求证：四边形 MAHB内接于圆。（10091002-1.gsp）
28．已知两个半径不等的圆O1和圆O2相交于M、N两点，且圆O1和圆O 分别与圆O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充要条件是S、N、T三 点共线。（1997年全国联赛）（10090301-3.gsp）
47．已知D是△ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足∠1=∠2， ∠3=∠4。求证：(PB/PC)=(AB/AC)。（09030801.gsp）
48．已知：D是△ABC的BC中垂线上一点，I1、I2是△ABD、△ACD的内 心，E是△ABC外接圆弧BAC的中点。求证：A、E、I1、I2四点共圆。 （08081201.gsp）
17．已知△ABC中，内心I关于BC边中点M的对称点为I'，S是BC弧（不含A 点）中点，直线SI'交△ABC的外接圆于另一点P。求证：P点到△ABC 较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。（10082201-5.gsp）
18．在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB，联结AD、BE、CF。 求证：AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。（10081601-2.gsp）
4．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、
E，点A关于D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于 A和另一点P。求证：AP//BC。（10092102.gsp）
5．圆O1和圆O2相交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线， 分别切圆O1和圆O2于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O1 O2于点E，F。求证：AB、CE、DF共点。（10092201.gsp）
45．AD为△ABC内角平分线，I1、I2为△ABD、△ACD的内心，以I1I2
向BC边作等腰△E
I1I2，使得∠I1EI2＝∠BAC。求证：DE⊥BC。
（10081701-1.gsp）
46．已知P是凸四边形内一点，满足∠PAB=∠CAD，∠PCB=∠ACD。求 证：PB=PD的充要条件是ABCD四点共圆。（2004年IMO）（100917016.gsp）（09030801.gsp）
8．在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，E是△ABC外一点，满足 CE⊥AB，BE=BD。过线段BE的中点M作直线MF⊥BE，交△ABD的外 接圆的劣弧AD于点F。求证：ED⊥DF。（2010年女子竞赛）（100816014.gsp）
9．设圆I1是△ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是切点，若I1D与EF 交于P点。求证：AP平分底边BC。（10082001-8.gsp）
10．如图，⊙O切△ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一 点，AM交CD于点N．求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC。 （09031302.gsp）
11．已知：BC是圆上的定弦，而动点A在圆上运动，M是AC中点，作 MP⊥AB于P。求P点的轨迹。（10081601-4.gsp）
12．△ABC外接圆为圆O，P为AB上一点，过P分别作OA、OB的垂线，与 AC、BC交于S、T，与AB交于M、N。求证：PM=MS的充要条件是 PN=NT。（10081601-3.gsp）
29．设以O为圆心的圆经过△ABC的两个顶点A和C，且与边AB、BC分别 交于K和N，又设△ABC和△KBN的外接圆交于B和另一点M。求证： ∠OMB=90°。 （1985年IMO）（10090301-1.gsp）
30．已知：在△OAB与△OCD中，OA=OB，OC=OD，直线AB与CD交于点 P，△PAC与△PBD的外接圆交于P、Q两点。求证：OQ⊥PQ。
25．过点P任作圆O的两条割线PAB、PCD，直线AD与BC交于Q，弦 DE//PQ，BE交PQ延长线于M。求证：OM⊥PQ。（10092103-1.gsp）
26．如图，设⊙O1与⊙O2交于AB两点。AC是⊙O2的切线，交⊙O1于C点。 AD是⊙O1的切线，交⊙O2于D点。过A任作直线，交⊙O1、⊙O2及经 过A、C、D三点的圆分别于M、N、P。求证：AM=NP。（100910026.gsp）
51．设⊙O1与⊙O2交于C、D。过D的直线交⊙O1与⊙O2于A、B。 点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC 的延长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN⊥OD是P、Q、 M、N四点共圆的充要条件。（09020401.gsp）
52．设X是P点的Simson线关于△ABC的垂极点。求证：XP被Simson线 所平分。（09031903.gsp）
6．四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD 的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q。求证： ∠PQC=∠PQD。（10081601-26.gsp）
7．已知RT△ABD∽RT△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM 垂线交AD于F。求证：DE=EF。（10083001.gsp）
高中平面几何
学习要点
几何问题的转化
叶中豪
圆幂与根轴
P’tolemy定理及应用
几何变换及相似理论
位似及其应用
完全四边形与Miquel点
垂足三角形与等角共轭
反演与配极，调和四边形
射影几何
复数法及重心坐标方法
例题和习题
1．四边形ABCD中，AB=BC，DE⊥AB，CD⊥BC，EF⊥BC，且。求证： 2EF=DE+DC。（10081902.gsp）
43．已知锐角△ABC中，AD是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三 点的圆于P，自P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。求证：DEPF是平行四边 形。（10091701.gsp）
44．已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB、CD的中点，M是EF的中点， 自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为P、Q。求证：MP=MQ。 （10091701-1.gsp）
（09022301.gsp）
31．已知半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于C、D，交AB延长线于 P，设M是△AOC与△BOD外接圆除O点外的另一交点。求证： OM⊥MP。（10091001.gsp）
32．凸四边形ABCD内接于圆O，两组对边所在直线分别交于点E、F，对角 线AC、BD交于G，作GH⊥EF于H，圆O的弦MN经过G点。求证：GH 与圆O交点恰是△HMN的内心。（10092103-2.gsp）
39．自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别交 AB、AD于E、F。求证：CE=EF。（10081001-5.gsp）
40．A为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别相切圆O于C、D，DE 垂直AO于E，DE分别交AB、AC于F、G。求证：DF＝FG。
（09042001.gsp）
53．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC 于E。求证：∠DHE=∠C。（09022202.gsp）
54．△ABC中，AD为边BC上的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上
13．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得 C、E在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。
求证 ：(AC+BC) 2＝4DL×EF。 （09011003.gsp）
14．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥CA于 E，PF⊥AB于F。求证：(BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。（090122017.1.gsp）
23．设△ABC内接于圆O，过O作OE⊥BC交圆O于E，交AB于F，交AC延长 线于G。过G作圆O的切线GT，T为切点。求证：TF⊥GE。 （10092104.gsp）
24．已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线PEF，M是EF上一 点，联结BM延长交圆O于C。求证：AC//PEF的充要条件是M为EF中 点。（10092401-6.gsp）
21．圆O与圆O1、圆O2同时相切，切点为S、T，圆O1与圆O2交于A、B两 点，且圆O2的圆心恰在圆O1上。设公共弦AB延长交圆O于C、D两点， 联结SC、SD分别交圆O1于P和Q。求证：PQ与圆O2相切。（40届IMO （10082001-12.gsp）
22．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的 圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。求证：∠MPQ=2∠NML。（98年伊朗 竞赛）（10081601-5、6.gsp）（09022203.gsp）
19．过△ABC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分 别为E、F、G、H、I、K，过O作△ABC的外接圆的弦AL。 求证：OE·OF＋OG·OH＋OI·OK＝OA·OL。（09042002.gsp）
20．一小圆内切大圆于点N，BA、BC是大圆的两条弦，且分别切小圆于 K、M，劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P，又设△BQK、△BPM外 接圆的另一个交点为B1。求证：BPB1Q为平行四边形。（100820011.gsp）
41．P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。过D作PA的平行线，分 别与AC延长线及线段AE交于B、F。求证：D为BF中点。 （09031302.gsp）
42．已知P、Q是等腰三角形ABC（AB=AC）内两点，满足 ∠ABP=∠QCB，且∠ACP=∠QBC。求证：A、P、Q三点共线。 （10090101-1.gsp）
15．已知O是△ABC的外心，M是BC边中点，D是OM延长线上一点，满足 DO=DB，E、F分别是AB、AC边上的点，满足∠MEA=∠MFA=∠A。 求证：AD⊥EF。（10080302.gsp）
16．已知△ABC中，AB＝AC，线段AB上有一点D，线段AC延长线上有一 点E，使得DE＝AB。线段DE与△ABC的外接圆交于点T，P是线段AT 延长线上的一点。求证：点P满足PD＋PE＝AT的充要条件是P在△ADE 的外接圆上。（2000年国家集训队）（10082201-1.gsp）