高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版高中数学联赛的几何题目有100道，难度较高。

这些题目涉及到各种不同的几何概念和定理，需要考生具备扎实的数学基础和丰富的解题经验。

在这些题目中，有许多需要考生进行证明，需要考生熟练掌握各种证明方法和技巧。

同时，还有一些需要考生进行画图，需要考生具备良好的几何直观和手绘能力。

这些几何题目的难度不仅仅在于其题目本身，还在于考试的时间限制。

考生需要在有限的时间内解决尽可能多的问题，因此需要考生具备快速解题的能力和良好的时间管理能力。

为了更好地应对这些几何题目，考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练。

同时，还需要多做一些类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

总之，高中数学联赛的几何题目难度较高，需要考生具备扎实的数学基础、丰富的解题经验、良好的几何直观和手绘能力、快速解题的能力和良好的时间管理能力。

考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练，并多做类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

1.研究证明角平分在这一部分中，我们将研究如何证明一个角被平分。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角平分线的定义、角度相等、相似三角形等。

2.研究证明四点共圆在这一部分中，我们将研究如何证明四个点共圆。

这个问题也是几何学中的基础问题之一。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用圆的定义、圆心角、垂直等。

3.研究证明角的倍数关系在这一部分中，我们将研究如何证明角的倍数关系。

这是一个非常重要的几何问题，因为它在许多几何证明中都有应用。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角度相等、相似三角形等。

4.证明线与圆相切在这一部分中，我们将研究如何证明一条线与一个圆相切。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用切线的定义、圆心角等。

5.证明垂直在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段垂直。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用垂直的定义、垂直角等。

6.证明线段相等在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段相等。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用线段相等的定义、相似三角形等。

7.证明线段为比例中项在这一部分中，我们将研究如何证明一条线段是两个线段的比例中项。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用比例中项的定义、相似三角形等。

8.证明垂直在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段垂直。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用垂直的定义、垂直角等。

9.证明线段相等在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段相等。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用线段相等的定义、相似三角形等。

10.证明角平分在这一部分中，我们将研究如何证明一个角被平分。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角平分线的定义、角度相等、相似三角形等。

11.证明垂直在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段垂直。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用垂直的定义、垂直角等。

12.证明线段相等在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段相等。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用线段相等的定义、相似三角形等。

13.证明角相等在这一部分中，我们将研究如何证明两个角相等。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角度相等、相似三角形等。

14.证明中点在这一部分中，我们将研究如何证明一个点是一条线段的中点。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用中点的定义、相似三角形等。

15.证明线段的二次等式在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段的平方和等于另一条线段的平方。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用勾股定理、相似三角形等。

16.证明角平分在这一部分中，我们将研究如何证明一个角被平分。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角平分线的定义、角度相等、相似三角形等。

17.证明中点在这一部分中，我们将研究如何证明一个点是一条线段的中点。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用中点的定义、相似三角形等。

18.证明角相等在这一部分中，我们将研究如何证明两个角相等。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角度相等、相似三角形等。

19.证明中点在这一部分中，我们将研究如何证明一个点是一条线段的中点。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用中点的定义、相似三角形等。

20.证明线段相等在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段相等。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用线段相等的定义、相似三角形等。

21.证明垂直在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段垂直。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用垂直的定义、垂直角等。

22.证明角相等在这一部分中，我们将研究如何证明两个角相等。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角度相等、相似三角形等。

23.证明四点共圆在这一部分中，我们将研究如何证明四个点共圆。

这个问题也是几何学中的基础问题之一。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用圆的定义、圆心角、垂直等。

24.证明两圆相切在这一部分中，我们将研究如何证明两个圆相切。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用切线的定义、圆心角等。

25.证明线段相等在这一部分中，我们将第一题：证明角平分已知PE、PF是圆O的切线，A、B是圆O的直径点，PB 交圆O于另一点C，直线AF、BE交于D点。

要证明：∠PCD=∠PCE。

证明：首先由圆的性质可知，∠PCE=∠PEB，∠PCD=∠PBC，因此只需证明∠PEB=∠PBC即可。

由于PA、PB是圆O的切线，因此∠PAB=∠PBA=90°，又因为A、B是圆O的直径点，所以∠APB=180°，因此三角形APB是直角三角形。

又因为PE、PF是圆O的切线，所以∠PBE=∠PBF=90°，因此四边形BPEF是矩形，所以∠PEB=∠PBF。

又因为PB交圆O于点C，所以∠PBC=∠PCB，因此我们只需证明∠PBF=∠PCB即可。

由于AF、BE交于点D，所以∠FDE=∠BDE，又因为DE是圆O的切线，所以∠BDE=∠PBC，因此∠FDE=∠PBC。

又因为CF⊥AB，所以∠FDE=∠DFC+∠EFC，代入上式得到∠PBC=∠PBF+∠DFC+∠EFC，即∠PBF=∠PCB，证毕。

第二题：证明四点共圆如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上异于A、B且在AB同侧的两点，分别过C、D作圆O的切线，它们交于点E，线段AD与BC的交点为F，线段AB与EF的交点为M。

要证明：E、C、M、D四点共圆。

证明：首先由圆的性质可知，AB是圆O的直径，因此∠ACB=90°，又因为C、D是圆O上异于A、B且在AB同侧的两点，所以∠CED=∠CBD，因此四边形CDEB是一个梯形。

又因为CD是圆O的切线，所以∠CED=∠CBE，因此四边形CDEB是一个等腰梯形。

又因为AD与BC相交于点F，所以线段EF是AB的中线，因此M是AB的中点。

又因为AB是圆O的直径，所以∠AMB=90°，又因为EF是AB的中线，所以∠EMB=90°，因此四边形AEMB是一个矩形，即AE=MB。

又因为C、D是圆O上的点，所以CE=DE，又因为CDEB是一个等腰梯形，所以CE=BD，因此AE=MB=BD，即四边形ABD是一个等腰三角形。

又因为∠ACB=90°，所以∠AFB=90°，因此四边形ABDF是一个矩形，即AF=BD。

又因为AE=BD，所以AE=AF，因此四边形AEFD是一个平行四边形，即EF∥AD。

又因为EF是AB的中线，所以EF⊥CD，又因为CD是圆O的切线，所以∠CED=∠CBE，因此∠CEM=∠CBM，即MC与MB在圆O上对应的弧相等。

同理可证MD与MA在圆O上对应的弧相等，因此E、C、M、D四点共圆，证毕。

第三题：证明角的倍数关系如图，PE、PF是以AB为直径圆的切线，E、F是切点，PB交圆于C点，AF、BE交于D点，AB是直径。

要证明：∠DPE=2∠ACD。

证明：首先由圆的性质可知，∠APE=90°，∠BPE=90°，因此∠APE+∠BPE=180°，即APBE是一个矩形，所以AE=BP。

又因为PE、PF是以AB为直径圆的切线，所以∠APE=∠ECD，∠BPE=∠DCF，因此∠ECD+∠DCF=∠APE+∠BPE=180°，即四边形CDEF是一个平行四边形，因此CD∥EF。

又因为AF、BE交于点D，所以∠AFD+∠BED=180°，又因为APBE是一个矩形，所以∠AFD=∠APE=90°，因此∠BED=90°-∠ACB。

又因为CD∥EF，所以∠ACD=∠ECD，∠BDC=∠DCF，因此∠BDE=∠ACD-∠DCF=∠ACD-∠BDC。

又因为AB是直径，所以∠ADB=90°，因此∠DAB=90°-∠ACB，又因为AE=BP，所以∠AEB=∠BPA，因此∠DAB=∠DPA，即三角形DAB与三角形DPA相似。

又因为∠BDE=∠ACD-∠BDC=∠ACD-∠ADB，所以∠DPE=∠DPA-∠EPA=∠DAB-∠ECD=∠ACB+∠BED-∠ECD=∠ACB+90°-∠ACB-∠ECD-∠BDC=90°-∠ECD-∠BDC=2∠ACD，证毕。

第四题：证明线与圆相切已知：三角形ABC中，∠A=90°，AD切圆ABC，AD交BC延长线于D，E是A关于BC的对称点，AY⊥BE于Y，X是AY中点，延长BX交圆ABC于J。