中考数学复习（48）：正多边形和圆知识考点：1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算；2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长；3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积；4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。

精典例题：【例1】如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。

分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只须求出两圆的半径3R 与6R 的平方比即可。

解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为3R ，正六边形外接圆⊙O 2的半径为6R ，由题意得：AB R 333=，AB R =6，∴3R ∶6R ＝3∶3；∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积＝1∶3。

【例2】已知扇形的圆心角为1500，弧长为π20，求扇形的面积。

分析：此题欲求扇形的面积，想到利用扇形的面积公式，lR R n S 213602=π＝扇形，由条件n ＝1500，π20=l 看到，不管是用前者还是用后者都必须求出扇形的半径，怎么求？由条件想到利用弧长公式不难求出扇形半径。

解：设扇形的半径为R ，则180Rn l π＝，n ＝1500，π20=l ∴18015020Rππ＝，24=R ∴ππ24024202121=⨯⨯=lR S ＝扇形。

【例3】如图，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，PO ＝4cm ，∠APB ＝600，求阴影部分的周长。

分析：此题欲求阴影部分的周长，须求PA 、PB 和⋂AB 的长，连结OA 、OB ，根据切线长定理得PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠，∠APO ＝∠BPO ＝300，在Rt △PAO 中可求出PA 的长，根据四边形内角和定理可得∠AOB ＝1200，因此可求出⋂AB 的长，从而能求出阴影部分的周长。

解：连结OA 、OB∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点 ∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠2O 1O ∙∙例1图B A例3图∠APO ＝21∠APB ＝300 在Rt △PAO 中，AP ＝3223430cos 0=⨯=⋅PO OA ＝21PO ＝2，∴PB ＝32 ∵∠APO ＝300，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠ ∴∠AOB ＝300，∴ππ341802120=⨯=⋂ABl∴阴影部分的周长＝PA ＋PB ＋⋂AB ＝π343232++＝)3434(π+cm 答：阴影部分的周长为)3434(π+cm 。

【例4】如图，已知直角扇形AOB ，半径OA ＝2cm ，以OB 为直径在扇形内作半圆M ，过M 引MP ∥AO 交⋂AB 于P ，求⋂AB 与半圆弧及MP 围成的阴影部分面积阴S 。

分析：要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式，只有用“割补法”，连结OP 。

PO A PMO BMQ AO B S S S S S 扇扇扇阴－－－∆= 解：连结OP∵AO ⊥OB ，MP ∥OA ，∴MP ∥OB 又OM ＝BM ＝1，OP ＝OA ＝2 ∴∠1＝600，∠2＝300∴PM ＝323=OP 而ππ31360302==R S POA 扇，2321=⋅⋅=∆PM OM S PMO 设PM 交半圆M 于Q ，则直角扇形BMQ 的面积为ππ41412==r S BMQ 扇 ∴)(PO A PMO BMQ AO B S S S S S 扇扇扇阴－++=∆ ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-πππ312341412R ＝23125-π探索与创新：【问题】如图，大小两个同心圆的圆心为O ，现任作小圆的三条切线分别交于A 、B 、C 点，记△ABC 的面积为S ，以A 、B 、C 为顶点的三个阴影部分的面积分别为1S 、2S 、3S ，试判断S S S S -++321是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。

分析：这是一道开放性试题，所考查的结果是否为定值，我们首先应明白已知条件中例4图OBA有哪些定值。

为此设大小圆半径分别为R 和r （R 和r 均为定值），小圆的每条切线与大圆所夹小弓形的面积相等且为定值，设这个定值为P ，如图有：P S S S ='++321，P S S S =++'321，P S S S =+'+321 ∴P S S S S S S 3)()(2321321='+'+'+++………① 又∵2321321)()(R S S S S S S S π=+'+'+'+++ ∴S S S S R S S S -++-='+'+')(3212321π………② 把②代入①得：23213)(R P S S S S π-=-++（定值） ∴S S S S -++321为定值，这个定值为23R P π-。

跟踪训练：一、选择题：1、正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（ ）A 、63 B 、43 C 、332 D 、33 2、如图，两同心圆间的圆环的面积为π16，过小圆上任一点P 作大圆的弦AB ，则PB PA ⋅ 的值是（ ）A 、16B 、π16C 、4D 、π4 3、如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且⋂AC 为半圆的31，设扇形AOC 、△COB 、弓形B m C 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则下列结论正确的是（ ） A 、1S ＜2S ＜3S B 、2S ＜1S ＜3SC 、2S ＜3S ＜1SD 、3S ＜2S ＜1S∙第2题图 OP BA3S 2S 1S m 第3题图 OCBA∙∙2O1O 第4题图PB4、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于P ，它们的外公切线与两圆分别相切于点A 、B ，设⊙O 1的半径为1r ，⊙O 2的半径为2r ，⋂AP 的长为1l ，⋂BP 的长为2l ，若213r r =，则（ ）问题图A 、213l l =B 、212l l =C 、2123l l =D 、21l l = 5、如图，A 是半径为1的⊙O 外一点，OA ＝2，AB 切⊙O 于B ，弦BC ∥OA ，连结AC ，则图中阴影部分的面积为（ ） A 、π92 B 、π61 C 、8361+π D 、8341-π第5题图第6题图 COBA6、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝300，AC ＝a 2，BC ＝b ，以直线AB 为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的表面积是（ ）A 、22a πB 、ab πC 、ab a ππ+23 D 、)2(b a a +π 二、填空题：1、扇形的圆心角为1500，扇形的面积为π240cm 2，则扇形的弧长为 。

2、一个圆锥形零件底面圆半径r 为4 cm ，母线l 长为12 cm ，则这个零件的展开图的圆心角α的度数是 。

3、如图，正△ABC 的中心O 恰好为扇形ODE 的圆心，要使扇形ODE 绕O 无论怎样旋转，△ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ABC 的面积的31，则扇形的圆心角应为。

第3题图第4题图第5题图4、如图，A 、B 、C 、D 是圆周上的四个点，⋂⋂⋂⋂+=+BD AC CD AB ，且弦AB ＝8，CD ＝4，则图中两个弓形（阴影）面积的和是 （结果保留三个有效数字）。

5、目前，全国人民都在积极支持北京的申奥活动，你们知道吗？国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，每个圆环的内、外圆直径分别为8和10，图中两两相交成的小曲边四边形（阴影部分）的面积相等，已知五个圆环覆盖的面积是122.5平方单位，请你计算出每个小曲边四边形的面积为 平方单位（π取3.14） 三、计算或证明题：1、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，若∠C ＝900，AD ＝4，BD ＝6，求图中阴影部分的面积。

第1题图2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，O点在AB上，半圆O切AC于D，切BC于E，AO＝15cm，BO＝20cm，求⋂DE的长。

∙第2题图EA BOCD3、如图，有一个直径是1米圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为900的扇形ABC，求：（1）被剪掉（阴影）部分的面积；（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？第3题图4、如图，⊙O与⊙O'外切于M，AB、CD是它们的外公切线，A、B、C、D为切点，EO'⊥OA于E，且∠AOC＝1200。

（1）求证：⊙O'的周长等于⋂AMC的弧长；（2）若⊙O'的半径为1cm，求图中阴影部分的面积。

第4题图参考答案：一、选择题：DABCBD 二、填空题：1、π20cm ；2、1200；3、1200；4、15.4；5、2.35 三、计算或证明题：1、π-4；2、π6；3、（1）π81平方米，（2）82米； 4、（1）证明：由已知得∠AO O '＝600，AB O 'O 为直角梯形，设⊙O 与⊙O '的半径分别为R 、r ，则cos600＝r R r R +-，即r R 3=，∴⊙O '的周长为r π2，而⋂AMC ＝180120R π＝r π2，∴⊙O '的周长等于⋂AMC 的弧长。

（2）)61134(π-=阴影S cm 2。