第十二章 习题答案
12.1 选择题
(1) 对位移电流,下述四种说法哪个正确( )
A. 位移电流是由线性变化磁场产生的.
B. 位移电流是指变化的电场.
C. 位移电流的热效应服从焦耳-楞次定律.
D. 位移电流的磁效应不服从安培环路定理.
(2) 空气中有一无限长金属薄壁圆筒,在表面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流i (t),则( )
A. 圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场.
B. 任意时刻通过圆筒内假象的任一球面的磁通量和电通量均为
零.
C. 沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零.
D. 沿圆筒外任意闭合环路上磁感应强度的环流不为零.
(3) 如图12.1(3)所示为一充电后的平行板电容器,A 板带正电,B 板
带负电,开关K 合上时,A ､B 板间位移电流的方向为(按图上所标x 轴
正方向回答)
A ．x 轴正向
B ．x 轴负向
C ．x 轴正向或负向
D ．不确定 题12.1(3)图 答案：(1) B, (2)B, (3)B.
12.2 填空题
1． S t B l E L S d d ⋅⋅⎰⎰∂∂-= ① 0d =⎰⋅S B S ②
S t D I l H S L i d d ⋅⋅⎰⎰∑∂∂+= ③
试判断下列结论是否包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的.将确定的方程式用代号填在相应结论的空白处.
(1) 变化的电场一定伴随有磁场__________________．
(2) 变化的磁场一定伴随有电场__________________．
(3) 磁感线是无头无尾的闭合曲线________________．
2．平行板电容器的电容C 为20 μF ,两板上的电压变化率V/s 105.1d d 5⨯=t
U ,则该平行板电容器中的位移电流为____________．
3．一空气平行板电容器的两极板是半径为R 的圆形导体片,在充电时,板间电场强度的变化率为t
E d d .若略去边缘效应,则两板间的位移电流为______________． 答案: (1)③①②, (2)3 A, (3)20
R dt dE πε
12.3 圆柱形电容器内､外导体截面半径分别为R 1和R 2(R 1 <R 2) ,中间充满介电常数为ε的电介质.当两极板间的电压变化率为k t
U =d d 时(k 为常数),求介质内距圆柱轴线为r 处的位移电流密度.
解：设圆柱形电容器内、外导体单位长度分别带有±λ的电量，由高斯定理
⎰==⋅l rl D S d D λπ2 内、外导体间的电位移矢量r D πλ2=；电场强度r
D E πελε2== 内、外导体间的电势差：1
2ln 2221R R dr r l d E U R R πελπελ==⋅=⎰⎰ ∴ 1
2ln 2R R U πελ= 电位移矢量：R R e R R r U e r D 1
2ln 2επλ== ∴ 介质内距离圆柱轴线为r 处的位移电流密度
R R d e R R r k e dt dU R R r t D j 1
2
12ln ln εε==∂∂= 12.4 (1)试证明平行板电容器两极板之间的位移电流可写为t
U C I d d d =,其中C 是电容器的电容,U 是两极板间的电势差.(2)要在1.0 μF 的电容器内产生1.0 A 的位移电流,加在电容器上的电压变化率应是多大?
解：(1) 平行板电容器：d U E D ε
ε== 电容：d S
C ε= 由位移电流定义：()dt dU C CU dt d d U S dt d dt d
D S
S j I d d ==⎪⎭⎫ ⎝⎛===ε 得证。

(2) 电压变化率：)s (V 1010
11166--⋅=⨯==C I dt dU d 12.5 有一圆形平行板电容器,半径为R =3 cm.现对其充电,使电路上的传导电流A 5.2d /d ==t Q I ,若略去边缘效应,求(1)两极板间的位移电流密度.(2)两极板间离轴线距离r = 2 cm 处P 点的磁感应强度.
解：(1) 作一半径为r 平行于极板的圆形回路，通过此圆面积的电位移通量为
2r D D π=Φ
对于平行板电容器有：σ=D
∴ Q R
r D 22
=Φ 位移电流： A 11.122==Φ=dt
dQ R r dt d I D d (2) 设半径为r 处的磁感应强度为B ，由全电流定律得：
d I I l d H +=⋅⎰0
dt
dQ R r H dt dQ R r r H 2222)2(ππ=⇒= T 1011.125200-⨯===dt
dQ R r H B πμμ 12.6 充电平行板电容器的电容为C,电流为t i -=e 2.0(SI),t = 0时极板上无电荷,求(1)极板
间电压U 随时间t 变化的关系.(2)t 时刻极板间总的位移电流I d (忽略边缘效应).
解：(1) ()t t t t e C
e C idt C C q U ---=⨯-===⎰12.02.01100 (2) 由全电流的连续性得：t d e i I -==2.0
12.7 平行板电容器的两极板是面积为S 的圆形金属板,接在交流电源上,板上电荷随时间变化满足t q q ωsin m =.求(1)电容器中的位移电流密度.(2)两极板间磁感应强度的分布. 解：对于平行板电容器，电位移矢量的大小为t Sin S q S q D m ωσ==
= 位移电流密度：t S q t Sin S q t t D j m m d ωωωcos =⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂= (2) 电容器内无传导电流，故00=j
由于位移电流具有轴对称性，设r 为场点到圆板中心的距离，以r 为半径做圆周路径为L 。

根据全电流安培环路定理：
2)2(r j dS j I r H l d H d S
d d L ππ====⋅⎰⎰ t S
r q r j H m d ωωcos 22==
所以 t S r q H B m
ωμωμcos 200== 12.8 一长直的铜导线,截面半径为5.5 mm,通有电流20 A.求导线表面处的电场能量密度和磁场能量密度.铜的电阻率1.69⨯10–8 Ω⋅m.
解：磁场能量密度：
22322
72
0002J/m 21.0)
105.5(42201042212=⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛==--πππμμμR I B w m 由于导线表面内外切向电场连续，所以表面外表面处的电场为 2
R I J E πρ
ρ== 此处的电场能量密度为： []
3
172232812222020J/m 106.5)105.5(14.32)201069.1(1085.8)(2)(21----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===R I E w e πρεε *12.9
平行板电容器,圆金属板的半径为R ,两板间距为d (d << R ).电容器正在被缓慢充电,t 时刻极板间的电场强度为E ,求此时流入电容器的能流S .
解：电容器正在充电，极板间场强随时间增大，极板间电场的能量也随时间增加。

电容器内距离中心轴线r 处的磁感应强度满足关系： 200000)2(r t
E d t E d t D r B l d B S S πεμεμμπ∂∂=∑⋅∂∂=∑⋅∂∂==⋅⎰⎰⎰ 所以，t
E r B ∂∂=0021εμ 由于d << R ，电容器的边缘效应可忽略。

极板间电场强度为E ，电容器极板间的磁感应强度为
t
E R B ∂∂=0021εμ 能流密度矢量的大小为t E RE EB EH S ∂∂==
=00211
εμ 流入电容器的能量为 t E Ed R Rd S d S ∂∂==∑⋅⎰202πεπ。