2020年山东省泰安市肥城市一模数学试题一、选择题1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（ ）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）2.若集合{}{}1234|05P Q x x x ==<<∈R ，，，，，，则“x P ∈”是“x Q ∈”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也非不必要条件3.已知(),4,2a x =-，()3,,5b y =-，若a b ⊥，则22x y +的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．[)3,+∞C ．[)4,+∞D ．[)5,+∞4.若a ，b ，c 满足23a=，2log 5b =，32c =.则（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<5.函数2log y x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知函数31(0)()2(0)x a x f x x x -⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))18f f -=，那么实数a 的值是（ ）A ．4B ．1C ．2D ．37.2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着312++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱物理D ．样本中的女生偏爱历史 二、填空题8.(13arcsin arccos arctan 322⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 9.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是________________.10.在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BC BB ===，点M 是11A C 的中点，则四棱锥11M B C CB -的外接球的表面积为__________．11.定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （e+x ）＝f （e ﹣x ），且f （0）＝0，当x ∈（0，e]时，f （x ）＝ln x 已知方程122f x sin x e π=（）在区间[﹣e ，3e]上所有的实数根之和为3e a ，将函数23sin 14g x x π=+（）的图象向右平移a 个单位长度，得到函数h （x ）的图象，，则h （7）＝_____. 三、解答题12.记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.13.已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x -（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合. 14.如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若2CD =，求四棱锥111C A B CD -的体积.15.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的焦距为2，且过点2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.16.现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表: 月收入（单位百元） [15,25）[25,35）[35,45）[45,55）[55,65）[65,75）频数5 10 1510 5 5（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;（Ⅱ）若采用分层抽样在月收入在[15,25）,[25,35）的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25）的概率.参考公式:K 2()()()()2()n ad bd a b c d a c b d -=++++,其中n =a +b +c +d . 参考数据:17.已知函数()22()e x f x ax x a =++在1x =-处取得极小值.（1）求实数a 的值；（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，且函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.（参考数据：e 2.718≈ 2.236≈） 四、不定项选择题18.对数函数log a yx =（0a >且1a ≠）与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图像不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．19.设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x （ ） A ．是偶函数B ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．最大值为2 D ．其图像关于直线2x π=对称20.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比95.80%﹣0.48%3.82%0.86%则下列判断中正确的是（ ）A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低21.在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,当//BD 平面EFGH 时,下面结论正确的是（ ）A ．,,,E F G H 一定是各边的中点B ．,G H 一定是,CD DA 的中点C ．::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC = D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形22.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3参考答案1.【解析】由题意得{}()121,2A B x x ⋃=-<<=-.故选：A ． 【答案】A2.【解析】由题可知，若x P ∈，则一定有x Q ∈，故充分性满足；但是若x Q ∈，则不一定有x Q ∈，故必要性不满足. 故“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件. 故选：A ． 【答案】A3.【解析】(),4,2a x =-,()3,,5b y =-,且a b ⊥由向量数量积的运算可得34100a b x y ⋅=--=22x y +的意义为(),x y 到原点距离平方由点到直线距离公式可知原点到直线34100x y --=的距离为2d ==因为点到直线的距离为最短距离,所以22x y +的最小值为4即22xy +的取值范围为[)4,+∞故选:C 【答案】C4.【解析】23a =，12232<<，∴12a <<，22log 5log 4b =>，∴2b >，32c =，01323<<，∴01c <<，∴c a b <<，故选：A ． 【答案】A5.【解析】当4x =时2log 0y x ==，所以舍去D;当16x =时2log 0y x ==，所以舍去BC ； 故选：A 【答案】A6.【解析】(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，即4218a +=，解之得：2a =.故选：C ． 【答案】C7.【解析】由图1知，样本中的女生数量对于男生数量，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量，样本中的男生偏爱物理，女生也偏爱物理. 故选：D ． 【答案】D8.【解析】(1arcsin arccos arctan 22⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1arcsin arccos arctan 2π⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭⎝⎭663ππππ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭ 3π=.故答案为：3π. 【答案】3π 9.【解析】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则直线l 1：y ＝k （x －3）＋5＋b ，平移后的直线方程为y ＝k （x －3－1）＋b ＋5－2 即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34， ∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b取直线l 上的一点3,4P m m b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，则点P 关于点（2，3）的对称点为34,64m b m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ ， ()331164444b m m b --=-++ ，解得b ＝18.∴直线l 的方程是3148y x =+ ，即6x －8y ＋1＝0.故答案为：6x －8y ＋1＝0 【答案】6x －8y ＋1＝010.【解析】由题意得四边形11B C CB 为正方形，设其中心为O ，取11B C 中点N,则111,12ON MNON MN OM OB OC OB OC ⊥==∴=====,即O 为四棱锥11M B C CB -的外接球球心，球半径为2，球表面积为24π(2)8π=. 【答案】8π11.【解析】因为f （e+x ）＝f （e ﹣x ），所以f （x ）关于x ＝e 对称，又因为偶函数f （x ），所以f （x ）的周期为2e.当x ∈（0，e]时，f （x ）＝ln x ，于是可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e]上的图象如图所示， 方程1()sin 22e f x x π=的实数根是函数y ＝f （x ）与函数1sin 22ey x π=的交点的横坐标， 由图象的对称性可知，两个函数在[﹣e ，3e]上有4个交点，且4个交点的横坐标之和为4e ，所以4e ＝3e a ，故a 43=， 因为235()3sin 1cos 4222g x x x ππ=+=-+， 所以345325()cos ()cos()22322232h x x x πππ=--+=--+， 故3253310(7)sin 2324h π+=+=. 故答案为：33104+.3310+12.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【答案】（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．13.【解析】（1）()()()442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x=--=-+-22cos sin 2sin cos cos 2sin 224x x x x x x x π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，解不等式()3222242k x k k πππππ-+≤-≤-+∈Z ， 得()588k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为()5,88k k k ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤，当242x ππ-=时，即当38x π=时，函数()y f x =取得最小值.因此，函数()y f x =的最小值为，对应的x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【答案】（1）()5,88k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）最小值为2-，x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭.14.【解析】（1）证明:四边形ABCD 为平行四边形,2AD CD =,60ADC ∠=︒.90ACD BAC ∠∠∴==︒,AB AC ∴⊥,几何体中,111ABC A B C -为三棱柱,且1AA ⊥平面ABC ,1AB AA ∴⊥,1AC AA A ⋂=,AB ∴⊥平面11ACC A .（2）连结1A C ,AB ⊥平面11ACC A ,//CD AB ,CD 平面11CC A ,∴四棱锥111C A B CD -的体积:11111D CC A C A B C V V V --=+1111111133A C CA B C CD S CC S =⨯⨯+⨯⨯111122323232233232=⨯⨯⨯⨯⨯⨯8=.【答案】（1）证明见解析（2）815.【解析】解：（1）由已知可得：22222221112c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得22a =，21b =，1c =， 所以椭圆C ：2212x y +=.（2）由已知可得，()0,1B ，()1,0F ，∴1BF k =-，∵BF l ⊥， 设直线l 的方程为：y x m =+，代入椭圆方程整理得2234220x mx m ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -⋅=，∵BN MF ⊥，∴1212111y y x x -⋅=--. 即1212120y y x x y x +--=，因为11y x m =+，22y x m =+，()()()1212120x m x m x x x m x +++-+-= 即()212122(1)0x x m x x m m +-++-=.()2222421033m m m m m --+-+-=.所以2340m m +-=，43m =-或1m =. 又1m =时，直线l 过B 点，不合要求，所以43m =-. 故存在直线l ：43y x =-满足题设条件. 【答案】（1）2212x y +=（2）存在，43y x =-16.【解析】（Ⅰ）由题意填2×2列联表如下,由表中数据,计算K 2()25029731140103218⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 6.27<6.635,所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;（Ⅱ）用分层抽样在月收入在[15,25）,[25,35）的被调查人中随机抽取6人,则月收入在[15,25）内有65510⨯=+2（人）记为A ､B ,在[25,35）有6﹣2=4（人）,记为c ､d ､e ､f ; 从这6人中抽取3人,基本事件是ABc ､ABd ､AB e ､ABf ､Acd ､Ac e ､Acf ､Ad e ､Adf ､A e f ､Bcd ､Bc e ､Bcf ､Bd e ､Bdf ､B e f ､cd e ､cdf ､c e f ､d e f 共20种,这3人中至少收入在[15,25）的事件是ABc ､ABd ､AB e ､ABf ､Acd ､Ac e ､Acf ､Ad e ､Adf ､A e f ､Bcd ､Bc e ､Bcf ､Bd e ､Bdf ､B e f 共16种, 故所求的概率值为P 164205==. 【答案】（Ⅰ）填表见解析,没有 （Ⅱ）4517.【解析】（1）由题意得22()e (21)1x f x ax a x a '⎡⎤=++++⎣⎦.因为函数()22()exf x axx a =++在1x =-处取得极小值，依题意知'(1)0f -=，解得0a =或1a =.当0a =时，'()e (1)x f x x =+，若1x <-，'()0f x <，则函数()f x 单调递减， 若1x >-，'()0f x >，则函数()f x 单调递增，所以，当1x =-时，()f x 取得极小值，无极大值，符合题意.当1a =时，'()(1)(2)xf x e x x =++，若2x <-或1x >-，'()0f x >，则函数()f x 单调递增；若21x -<<-，'()0f x <，则函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在1x =-处取得极小值，2x =-处取得极大值，符合题意， 综上，实数0a =或1a =.（2）因为函数()f x 存在极大值与极小值，所以由（1）知，1a =. 所以()2()e12xg x xx x m =+--+，()e (1)(2)2x g x x x '=++-.当0x >时，'()0g x >，故函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x <时，令()e (1)(2)2xh x x x =++-，则()2()e 55xh x xx '=++，所以当x <x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，x <<()0h x '<，()h x 单调递减，因为(0)0h =， 3.6183356( 3.618)e ( 2.618)( 1.618)2e 3222e h h --⎛-≈-=⨯-⨯--<⨯⨯-= ⎝⎭20-<，所以当0x <时，'0g x <（），故()g x 在(,0)-∞上单调递减. 因为函数()g x 在R 上有两个零点，所以(0)10g m =-<，所以1m .取02m x =-<，22222224(1)312e e 0242244m m m m m m m m m m g e m ---⎛⎫-+-+⎛⎫⎛⎫-=-+-⨯--==>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 取1x m =>，()2222()e131321(1)0mg m mm m m m m m m m =++->++-=-+=->，所以，实数m 的取值范围是(1,)+∞. 【答案】（1）0a =或1a =（2）(1,)+∞18.【解析】当01a <<时，函数log a yx =单调递减，2(1)y a x x =--开口向下，对称轴在y 轴的左侧，排除C ，D ；当1a >时，函数log ay x =单调递增，2(1)y a x x =--开口向上，对称轴在y 轴的右侧，排除B ； 故选：BCD 【答案】BCD19.【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.选项A ：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，本说法正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，本说法正确；选项C ：()2f x x =，本说法不正确；选项D ：当2x π=时，()22f x π=⨯=因此当2x π=时，函数有最小值，因此函数图象关于2x π=对称，本说法正确. 故选：ABD 【答案】ABD20.【解析】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A 正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误； 该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C 正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确． 故选：ACD ． 【答案】ACD21.【解析】由//BD 平面EFGH ,所以由线面平行的性质定理,得//BD EH ,//BD FG ,则::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =,且//EH FG ,四边形EFGH 是平行四边形或梯形. 故选：CD. 【答案】CD22.【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故A 正确；对于B ，因为1B C ⊥平面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即2h =，故B 正确；对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故22r ==，故D 正确． 综上可知，正确的为ABD ， 故选：ABD ． 【答案】ABD。