无锡市天一中学高三第一学期数学期中测试试题及答案Revised as of 23 November 2020江苏省无锡市天一中学2008-2009高三第一学期期中测试数学试题注意事项：1. 答卷前考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填写在答题纸上，其中考号的涂写务必从左面第1列开始.2. 交卷时，只交答题纸.一、填空题：（每小题5分,14小题，共70分，把答案填在答题纸指定的横线上）1．集合{3,2},{,},{2},a A B a b A B A B ====若则 ． 2．“1x >”是“2x x >”的 条件．3．复数2(2)(1)12i i i+--的值是 ．4．若向量,0,(),a ba b a b c a b a c a a⋅⋅≠=-⋅⋅与不共线且则向量的夹角为 ． 5．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ．6．设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ．7．奇函数()[3,7]f x 在区间上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则2(6)(3)f f -+-= ．0．0．8．在∆ABC 中,60A ︒∠=,3AC =,那么BC 的长度为 ． 9．设等差数列112{}0,9,n k k a d a d a a a =的公差不为若是与的等比中项，则k 等于 ．10．以下伪代码：Read x 1f x≤2 Then y←2x －3 Else y←log 2x End 1f Pr1nt y表示的函数表达式是 ．2．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图：则四棱锥P ABCD -的表面积为 ．12．如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是13．设直线1l 的方程为022=-+y x ，将直线1l 绕原点按逆时针方向旋转 90得到直线2l ，则2l 的方程是14．已知,a b 是不相等的两个正数，在,a b 之间插入两组数：12,,,n x x x 和12,,,n y y y ，（ n N *∈，且2)n ≥，使得,a 12,,,,n x x x b 成等差数列，12,,,,n a y y y b ,成等比数列．老师给出下列四个式子：①1()2nk k n a b x =+=∑；俯视图左视图主视图②211()n k k a b x ab n =->+∑； ③12n n y y y ab <④12n ny y y ab =⑤12n ny y y ab >．（只需填序号）二、解答题：（本大题6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将解答过程写在指定的方框内） 15．（14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC.（1）求角B 的大小；（2）设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅且的最大值是5，求k 的值.16．（15分）已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC =2，A 为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD ⊥面ABCD （如图2）. （1）证明：平面PAD ⊥PCD ；（2）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC把几何体分成的两部分1:2:=MACB PDCMA V V ；（3）在M 满足（2）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.17．（14分）已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=的直线与，相交于M 、N 两点.（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM AN ⋅=定值；（3）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=求的值.18．（16分）设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞. （1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．19．（本小题满分15分）设函数,223,2)1(,)(2b c a af c bx ax x f >>-=++=且求证：（1）4330-<<->a b a 且；（2）函数)(x f 在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设21,x x 是函数)(x f 124|x x |.-<20．（本题满分16分）设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i 、j ，坐标平面上点n A 、()*n B n N ∈分别满足下列两个条件：①1OA j =且1n n A A i j +=+；②13OB i =且1233nn n B B i +⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.（1）求n OA 及n OB 的坐标；（2）若四边形11n n n n A B B A ++的面积是n a ，求()*n a n N ∈的表达式； （3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切()*n N ∈都有n a M <成立若存在，求M ；若不存在，说明理由．第Ⅱ部分 加试内容（满分40分，答卷时间30分钟）一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积． 2．某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（2）求η的分布列及期望E η．二、解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 3．（几何证明选讲）如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF·EC（1）求证：P=EDF ； （2）求证：CE·EB=EF·EP ；（3）若CE BE=3 2，DE=6，EF= 4，求PA的长4．（矩阵与变换） 已知曲线C ：1=xy（1）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程； （2）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.·PEODCBAF5．（坐标系与参数方程）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程;（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.6．（不等式选讲） 设a 、b 、c 均为实数，求证：a 21+b 21+c 21≥c b +1+a c +1+ba +1.高三调研测试数学答案（）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. {1，2，3} 2. 充分而不必要条件 3. 2 4. 2π5. 486. 4 7．15-89．4 10．2232log 2x x y xx -⎧=⎨>⎩≤ 2．222S a =+ 12．9413．022=+-y x 14．①②二．．解答题：本大题共6小题，共90分．解答题应写出必要的计算步骤或推理过程．15．解：（1）∵（2a －c ）cos B =b cos C ，∴（2s1n A －s1n C ）cos B =s1n B cos C .……………………………………………2分即2s1n A cos B =s1n B cos C +s1n C cos B =s1n （B +C ） ∵A +B +C =π，∴2s1n A cos B =s1n A .…………………………………………4分∵0<A <π,∴s1n A ≠0. ∴cos B =21.…………………………………………………………………5分∵0<B <π，∴B =3π.…………………………………………………………6分 （2）m n ⋅=4k s1n A +cos2A .…………………………………………………………7分=－2s1n 2A +4k s1n A +1，A ∈（0，322）……………………………………10分 设s1n A =t ，则t ∈]1,0(.则m n ⋅=－2t 2+4kt +1=－2（t －k ）2+1+2k 2,t ∈]1,0(.…………………………12分∵k >1，∴t =1时，m n ⋅取最大值. 依题意得，－2+4k +1=5，∴k =23.……………………………14分 16．（1）证明：依题意知：ABCD PAD AD CD 面面又⊥⊥ . .PAD DC 平面⊥∴ …………2分.PCD PAD PCDDC 平面平面面又⊥∴⊂…4分（2）由（1）知⊥PA 平面ABCD ∴平面PAB ⊥平面ABCD . …………5分在PB 上取一点M ，作MN ⊥AB ，则MN ⊥平面ABCD ， 设MN =h则312213131hh h S V ABC ABC M =⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-21112)21(3131=⨯⨯+⨯=⋅=∆-PA S V ABC ABCD P …………8分要使21,1:23:)321(,1:2:==-=h h h V V MACB PDCMA 解得即即M 为PB 的中点.…………10分（3）连接BD 交AC 于O ，因为AB ⊂…………………15分17解：（1）(1,),l a k =直线过点(0,1)且方向向量1l y kx ∴=+直线的方程为……………………2分1,<得k <<……………………5分 ()22C AT T AT 设焦点的的一条切线为,为切点,则=72cos07.AM AN AM AN AT AM AN ∴⋅=︒==∴⋅为定值……………………9分1122(3)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0……………………2分 212227,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+=……………………12 2121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=++++=+=+4(1+)24,11k k k k∴==+4(1+)解得1,0,1k k =∆>∴=又当时……………………14分 18．解（1）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞∴112()1[ln (ln )]af x x x x x x '=-⨯+⨯+，2ln 21x ax x=-+，……2分 ∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞ ∴22()1x g x x x-'=-=，令()0g x '=，得2x =， ……4分 列表如下：)∴()g x 在2x =处取得极小值(2)22ln 22g a =-+， 即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+． ……6分(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥， ∴(2)0g >． ……8分 证明（2）由（1）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>， ……10分 从而当0x >时，恒有()0f x '>， ……2分 故()f x 在(0)+，∞上是增函数． ……12分 证明（3）由（2）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， ……13分 又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ……14分∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>， ……15分 ∴2ln 2ln 1x x a x >-+故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． ……16分19．证明：（1）2)1(ac b a f -=++= 0223=++∴c b a又b c a 223>> 02,03<>∴b a 0,0<>∴b a ……………………2分 又2c=－3a －2b 由3a ＞2c ＞2b ∴3a ＞－3a －2b ＞2b ∵a ＞0 433-<<-∴a b ………………………………………………4分 （2）∵f （0）=c ，f （2）=4a +2b +c =a －c………………………………6分 ①当c ＞0时，∵a ＞0，∴f （0）=c ＞0且02)1(<-=af∴函数f （x ）在区间（0，1）内至少有一个零点……………………8分 ②当c≤0时，∵a ＞0 0)2(02)1(>-=<-=∴c a f af 且 ∴函数f （x ）在区间（1，2）内至少有一个零点.综合①②得f （x ）在（0，2）内至少有一个零点…………………………10分（3）∵x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点 则0,221=++c bx ax x x 是方程的两根∴aba c x x ab x x --==-=+23,2121……………………………………12分2)2()23(4)(4)(||222122121++=----=-+=-∴aba b a b x x x x x x433-<<-a b124|x x |-<……………………………………15分20．（本小题满分16分） 解：（1）1121n n n OA OA A A A A -=+++(1)()(1)(1,)j n i j n i nj n n =+-+=-+=-1121n n n OB OB B B B B -=+++1212223()3()3()3333n i i i i -=+⨯+⨯++⨯21()23399(),02313nn i -⎛⎫=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭-．……………………………………5分（2）1111212[109()](1)[109()]2323n n n n n n n PA B PA B a S S n n+++=-=-⨯⨯+--⨯⨯△△ 125(2)()3n n -=+-⨯，……………………………………………………10分（3）1122[53(2)()][53(1)()]33n n n n a a n n -+-=+-⨯-+-⨯ 112223()[(2)(1)()](4)()333n n n n n --=⨯---⨯=-⨯122334455667000000a a ,a a ,a a ,a a ,a a ,a a ,-<-<-<-=->->所以等即在数列{}n a 中，45859a a ==+是数列的最大项，所以存在最小的自然数M =6，对一切()*n N ∈都有n a ＜M 成立. …………………………16分第2部分 加试内容一、 解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．1.解 函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .…………………4分又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，所以所求面积为dx x x x A ⎰-++--=0123)2(dx x x x ⎰++-+223)2(1237=………10分 2. 解（1）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．…………4分（2）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为200E η=分二、 解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分． 3. 解 （1）∵DE 2=EF·EC ， ∴DE CE=EF ED ． ∵DEF 是公共角，∴ΔDEF ∽ΔCED ． ∴EDF=C ． ∵CD ∥AP ， ∴C= P ． ∴P=EDF ．……………………3分 （2）∵P=EDF ， DEF=PEA ，∴ΔDEF ∽ΔPEA ． ∴DE PE=EF EA ．即EF·EP=DE·EA ．∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE·EA=CE·EB ．∴CE·EB=EF·EP ．………6分（3）∵DE 2=EF·EC ，DE=6，EF= 4， ∴EC=9． ∵CE BE=3 2， ∴BE=6．∵CE·EB=EF·EP ，∴9×6=4×EP ．解得：EP=227． ∴PB=PE －BE=215， PC=PE ＋EC=245． 由切割线定理得：PA 2=PB·PC ， ∴PA 2=215×245．∴PA=3215．……………………10分 4. 解 （1）由题设条件，0000cos 45sin 45sin 45cos 45M ⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，':'2222M y x x x T y y y x y ⎤⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎥⎣⎦⎣⎦，即有''22x y y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得'')2'')x x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C 的方程为22''2y x -=。