f ( x ) ，由极限的概念
y f ( x)，得 y f ( x) x x 令dy f ( x)x ，称它为函数f(x)的微分。并记 dx x
，
则
dy f ( x)dx
例1 求函数y 1 2 x3 的微分 解
dy f ( x)dx (1 2x 3 )dx 6x 2 dx
f ( x) lim y 1 1 lim 2. x 0 x x 0 x( x x) x
(

一般地，可以证明幂函数 是任意实数）的导数公式为
yx

( x ) ' nx
(1)

1
(2)
2 1 2 2 3 y 2 x y ( x ) 2 x 3 x x 1 1 1 1 1 1 2 y ( x 2 ) x 2 y xx 2 2 x
1、熟记以下导数公式：
（1） （C)‘=0 （2）( x ( 3)
2、熟记运算法则
) x 1 (sin x) cos x

x
x
1. A(u ) ' Au ' 2.(u v) ' u ' v ' 3.(uv) ' u ' v uv ' u u ' v uv ' 4.( ) ' 2 v v
需要注意： (1)微分的意义 由于 dy f ( x)dx y ，说明可以用微分求函数的 改变量，即 y dy
这里
x
越小近似程度越好。
(2)微分的思想 如下图所示：MT是y=f(x)在M点的切线
y
f ( x) tan, NP y, NT f ( x)x dy
《Hale Waihona Puke 积分初步》导数可应用于求各种变化率，如求变速直线 运动的速度、加速度、切线的斜率，经济的边 际等问题。
介绍微分的概念及应用。 介绍积分的概念及应用。
1、导数的定义：
lim
导数的计算
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) f lim lim . x 0 x 0 ( x0 x) x0 x x
解
1 （1）d ( x 2 ) xdx 2 1 (3)d ( e 2 x ) e 2 x dx 2 2 (2)d ( x 2 ) x dx 3 (4)d ( cos x) sin xdx
3
说明：由微分的逆运算求原函数是接下来积分讲的内 容，通过求原函数可求不定积分。
微分的近似计算
例2 在下面的括号中以适当的函数填空：
（ 1）d ( (3)d ( ) xdx ) e 2 x dx (2)d ( (4)d ( ) xdx ) sin xdx
分析 例1求微分是通过求 y 求dy， 即dy y dx 这里对照 dy y dx ，则是其逆运算，已知 y 求原 来的函数。方法在于熟练掌握导数公式：首先找到类 似的求导公式，然后猜察反推和多次试算。
(3) 微分的计算 由于 dy y dx ，因此，“求微分就是求导数”． （并且在存在的情况下，可微与可导等价）。 于是，由导数公式与法则可直接得到微分的公式 与法则，如下表 微分基本公式（略） 微分四则运算法则 设u、v是x的可导函数，则
d (u v ) d u d v d (u v) vd u u d v u vd u u d v d( ) v v2
X1
X2
X3 X4
b
x
在函数取得极值处,如果 曲线有切线的话,则切线 是水平的,从而有 f ( x0 ) 0 . 但反过来不一定.如函数 y=x3,在x=0处,曲线的切 线是水平的,但这点的函 数值既不比它附近的点的 函数值大,也不比它附近 的点的函数值小.
二阶导数的应用
曲线凹凸区间的判定 直观看曲线“往上弯” 为凹，每点切线在曲 线下方；曲线“往下 0 弯”为凸，每点切线 在曲线上方。
说明 求函数极值的方法与步骤：
①求
f ( x) 。
f ( x)
②令 f ( x) 0 ，求一阶驻点。
③分区间讨论
的正负号，确定单调区间
进而确定极值点。 ④将极值点代入f(x)算出极值。
函数的极值:
请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念. (2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上 或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个 函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大 值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端 点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点 可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
f ( x) 0的地方， f ( x)凹； 曲线上凹凸的分界 f ( x) 0的地方， f ( x)凸。 点叫做曲线的拐点。
例1：求下列函数的导数并画出函数的大致图像：
e 1 (1) y x e 1
x
x cos x (2) y x sin x
(3) y x sin x; x [0, ]
3 函数 y f ( x) x ,
2
1 4 函数 y f ( x) , x
y lim lim (2 x x) 2 x. 的导数 f ( x) x 0 x x 0 y 1 1 的导数 f ( x) lim lim 2. x 0 x x 0 x( x x) x
y f ( x) lim lim (2 x x) 2 x. x 0 x x 0
1 y f ( x ) , 的导数 4、 函数 x 1 1 解： y f ( x x) f ( x) x x x 1 ， x x x x ( x x )
下面我们求几个常用函数的导数。
1 、求函数
y c(
c 是常数)的导数。
y 0 常数的导数等于零 x 0 x 2 、求函数 y x 的导数。 y y lim lim 1 1. x 0 x x 0 y lim
函数f ( x) kx的导函数为：f '( x) (kx) ' k.
y
y
y=f(x)
1
2 2
y=f(x)
1
a a图
b
x
0
a b图
b
x
进一步观察曲线凹凸性与切线的关系
a图曲线是凹的,切线的倾斜角 为锐角，且由小变大， tan 是递增的，则表明 f ( x) 0
有 f ( x) t an 递增，反之亦然。这就得到
f ( x) 0
有f(x)凹；(b）图同理有 f ( x) 0 ，f(x)凸。
由 y dy，即f ( x0 x) f ( x)
f ( x)x
得到近似公式：
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3x，y=4x 的图 象，从图象上看，它们的导数分别表示什么？
y
函数f ( x) kx的导函数为：
O
x
f '( x) (kx)' k
2 3、 函数 y f ( x) x , 的导数
解：
y f ( x x) f ( x) ( x x)2 x 2 2 x x (x) 2 2 x x， x x x x
y=f(x)
P T N x
微分 dy y ，当 x 较小时，

M
0 x X+△X 可用直线MT来近似曲线MP （或说用三角形MTN近似曲边三角形MPN）。
可见，“以直代曲”是微分的一个基本思想。 于是，可顾名思义，把“微分”看作动词，意思为 “无限细分”，而把“微分”看作名词，意思为“微 小的一部分”。
y 0 （2） 算比值： x
（3）取极限：y
这就是说，常数的导数等于零 2 、求函数 y x 的导数。
解：
y lim 0 x 0 x
y f ( x x) f ( x) x x x 1, x x x y y lim lim 1 1. x 0 x x 0
（4）试证当x>0时，有 x
1 x
ln(1 x) x
微分：导数的代数应用
如果说用导数判定确定函数的单调性、极值、曲线的凹 凸性、拐点，是导数在几何上的应用，那么这里“微分”则 主要是导数在代数上的应用。因为“微分”的主要问题是函 数的近似计算——如何求一个函数的改变量 y ？ 微分的概念及思想 y lim 设函数y=f(x)的导数存在，即 x0 x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative）， 记作 f '( x0 ) 或 y ' |x x0 ，即 f ( x0 x) f ( x0 ) f '( x0 ) lim . x 0 x
2、 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：
1.求增量： y
f ( x x) f ( x)
y f ( x x) f ( x) 2.算比值： x x y f ( x x) f ( x) lim 3.取极限： y lim x 0 x x 0 x
下面我们求几个常用函数的导数。
1 、求函数 y c ( c 是常数)的导数。 解：（1）求增量： y f ( x x) f ( x) c c 0