1．求下列函数的导数⑴10432+-=x x y ⑵100cos 8sin 7/1-++=x x x y⑶)/()(bx a b ax y ++= ⑷21sin x y += ⑸x e y sin = ⑹x e y x 100+=-xx xe e y xey xx x x x x y bx a b a y x x x x y x y ----=+-==++=++=+-=-+-=-=100100)1('cos '1/1cos 2·)1(·)1cos(')/()('sin 8cos 7)2/(1'46'sin 222/12212/12222⑹⑸⑷⑶⑵解：⑴2．已知某地段地形的海拔高度h 因水平坐标x 而变，h=100-0.0001x 2(1-0.005x 2)，度量x 和h 的单位为米。
问何处的高度将取极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？解：先求出h(x)对x 的一阶导数和二阶导数：42643643647242102106)102102(102102)1051010(22--------⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯+-=x x x x x x x dxd dx hd dxd dxdh令dh/dx=0，解得在x=0,10,-10处可能有极值。
∵d 2h/dx 2|x=0<0,∴x=0是极大值点，h(0)=100；∵d 2h/dx 2|x=10>0,∴x=10是极小值点，h(10)=99.0005米；显然，x=-10亦是极小值点，h(-10)=h(10).3．求下列不定积分⎰⎰++-dx x dxx x x )2()13(23⑵⑴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-++--+dxxdxdx xe xdx x dxe dxb ax dx dx x x dx e x x x b ax dx x x x xx x x ln 222113)12(cos )11(cos sin )sin()cos (sin )2(22⑽⑼⑻⑺⑹⑸⑷⑶解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==++=+=+-=--=+==++=++=+-=--=++-=++=++-=-==+--=-=-+++=-+=-+++=+=+++-=+-=+-----+---++-++-c x x xd dx cx x dx x xdx c ex d e dx xe c x x xd xdx x cb ax b ax d b axc ex d e dx e cb ax b ax d b ax dx b axc arctgx x dx dx dx cx x xdx xdx dx x x ce x dx x dx e dx e cx dx x dx dx x cx x x dx xdx dx x dx x x x x x x x aabax dx xx x aax dxx x x x xxx x dxx xx x x x 221ln 412121221221312222/112212212111111122/3133312ln 22x 2234133)(ln )(ln ln )12(2sin )2cos 1(cos )11()(sin )(sin sin cos sin )()()2()cos()()sin()sin(sin cos cos sin )cos (sin 2ln 323)2(2)2(3)13(22222222⑽⑼⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵⑴4. 求下列定积分πππππππππ412832/02/0212/02111143214/6/4/6/21214/6/221211112211ln 12/12/12/12/111551105514143532421213221212/1212/021114/6/2111ln 12/12/111421)2cos 1(3)sin 3(454/||2sin )2(2cos 2cos 2ln |)ln ()(5.1|)ln 1()ln 1()ln 1(60|arcsin )1(|)1()1()1()1(||)1)sin 3(2cos )()1()122322+=-+=+︒===-===+-=+=+=+=++=︒===-=-=--=--=-=-=-++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++---++--dx x xdx dx x x arctgx dx x x xd xdx e e x e dx e x x d x dx x e e e d e dx e e x x dx dx x dx x dx x x dx xdx dx e dx dx e e dx x x xx xeeexxxdx x x x x x xx x exxdx xx πππππππ⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵（解：⑴⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵（⑴示这些定积分。
的函数图形上用面积表并在以及、计算x x f xdx xdx xdx sin )(,sin sin sin .52/2/02/2/0=⎰⎰⎰--ππππ解：1|cos sin 02/0=-=⎰ππx xdx⎰⎰--=-=2/2/02/0sin 1sin πππxdx xdx6．计算由y=3x 和y=x 2所围成的平面图形的面积。
解：如图所示，令3x=x 2,得两条曲线交点的x 坐标：x=0,3. 面积5.4|)(3303312233032=-=-=⎰⎰x x dxx xdx A7．求曲线y=x 2+2,y=2x,x=0和x=2诸线所包围的面积。
解：面积A 3822331222|)2(2)2(=-+=-+=⎰⎰x x x xdxdx x8．一物体沿直线运动的速度为v=v 0+at,v 0和a 为常量，求物体在t 1至t 2时间内的位移。
解：位移S ⎰+=21)(0t t dt at v)()(|)(212221120221021t t a t t v at t v t t -+-=+=y121．2．3．4．5．6．7．略8．二矢量如图所示A=4,B=5,α=25º,β=36.87º,直接根据矢量标积定义和正交分解法求B A⋅。
解：直接用矢量标积定义：4)90cos(-=+-︒=⋅βαAB B A用正交分解法：∵A x =4cos α=3.6A y =4sin α=1.7,B x =5cos(90º+β)= - 5sin β= -3,B y =5sin(90º+β)=5cos β=4 ∴447.1)3(6.3-=⨯+-⨯=+=⋅y y x x B A B A B A9．的夹角。
与求已知B ,ˆ2ˆ2ˆ,ˆˆA k j iB j i A +-=+-=解：由标积定义ABB A B A B A AB B A⋅=∴=⋅),cos(),cos(，而︒=-==∴-=⋅=+-+==+-=-135),,),cos(3,32)2(1,21)1(2223322222B A B A B A B A两矢量夹角（ 10．已B A k j i B A k j i B A与求，知,ˆˆ4ˆ4ˆˆ5ˆ3+-=--+=+的夹角。
解：将已知两式相加，可求得j i A ˆ5.0ˆ5.3+=；再将已知两式相减，可求得5.35.05.3.ˆˆ5.4ˆ5.022≈+=∴-+-=A kj i B，+-⨯=⋅≈-++-=)5.0(5.3,64.4)1(5.4)5.0(222B A B0.5×4.5=0.5。
︒≈≈=⋅24.88),(,0308.0),cos(B A B A ABB A夹角11．已知.,0A C C B B A C B A⨯=⨯=⨯=++求证证明：用已知等式分别叉乘=⨯+⨯+⨯A C A B A A C B A有,,,0 .0,0=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯C C C B C A B C B B B A 其中，A C CB B AC C B B A A ⨯=⨯=⨯∴⨯⨯⨯均为零，,,12．计算以P (3,0,8)、Q (5,10,7)、R (0,2,-1)为顶点的三角形的面积。
解：据矢积定义，△PRQ 的面积A -=⨯=|,|1= =-=-+-OP OQ PQ kj i ,ˆ9ˆ2ˆ3 kj i ˆˆ10ˆ2-+. kj i kj i ˆ34ˆ21ˆ881102923ˆˆˆ--=---=⨯ 3.48,6.96342188||26.96222==∆∴=++=⨯A PRQ PQ PR 面积13． 化简下面诸式解：⑴B C B A A B A C C C B A⨯+-+⨯+++⨯-+)()()(0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=B C B A A B A C C B C A⑵)ˆˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆk j i k k i j k j i ++⨯++⨯-+⨯ i k ij i k j k ˆ2ˆ2ˆˆˆˆˆˆ-=-+-+-= ⑶)()()()2(B A C B A C B A+⨯++-⨯+CA BC A C A B A B C B C A B A C B A B A C B A C A⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-⨯+⨯=+⨯++⨯+-⨯+-⨯=2)()()()(214．计算下面诸式解：⑴)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆi k j j i k k j i ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ 3ˆˆˆˆˆˆ=⋅+⋅+⋅=j j k k i i⑵0)()(=⨯⋅=⨯⋅A A B A B A15．求证：)()])[()(C B A B C A B A⨯⋅-=⨯+⋅+证明：)])[()(B C A B A⨯+⋅+ )()()()()()()()()()()()(C B A B C A B B C B B A B C A A A B B C B B A B B C A B A A B C B A B B C B A A⨯⋅-=⨯⋅=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅=⨯+⨯⋅+⨯+⨯⋅= 16．.,ˆˆˆ)21(222dt A d dt A d t k j e i t A ，求已知-++=-解：j e i t k j e i t t t dtd dt Adˆˆ4]ˆˆˆ)21[(2---=-++=j e i j e i t t t dtddt A d ˆˆ4)ˆˆ4(22--+=-=17．已知j t i t B k t j t t i e A t ˆ3ˆ4,ˆˆ)4(ˆ323+=+--=- ， )(B A dtd⋅求解：z z y y x x B A B A B A B A ++=⋅2423231212)4(343tt e t t t t t e tt +-=--=--)31212()(242t t e t B A t d d +-=⋅-t t e t t t 648)2(1232+--=-ji kj i k。