椭圆的标准方程和几何性质练习题一1. 若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( ) A ．a 2>b 2 B.1a <1b C ．0<a <bD ．0<b <a答案：C 由ax 2＋by 2＝1，得x 21a ＋y 21b＝1，因为焦点在x 轴上，所以1a >1b >0，所以0<a <b . 2. 一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2,3)是椭圆上一点,且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2| 成等差数列，则椭圆方程为( )A.2x 8+2y 6=1B.2x 16+2y 6=1C.2x 8+2y 4=1D.2x 16+2y 4=1 答案：A 设椭圆的标准方程为2222x y a b +=1(a>b>0)。
由点P(2,3)在椭圆上知2243a b+=1。
又|PF 1|，|F 1F 2|，PF 2|成等差数列，则|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|，即2a=2×2c ，c 1,a 2=又c 2=a 2-b 2，联立得a 2=8，b 2=6 3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．12答案：C 如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，则△ABC 的周长为|AB |＋|AC |＋|BC |＝(|AB |＋|BF |)＋(|AC |＋|CF |)＝4a ＝43。
4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则实数m 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，34B. ⎝⎛⎭⎫43，＋∞C. ⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ D. ⎝⎛⎭⎫34，1∪⎝⎛⎭⎫1，43答案：C 在椭圆x 2＋my 2＝1中，当0＜m ＜1时，a 2＝1m ，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1m－1，∴e 2＝c 2a 2＝1m －11m＝1－m ，又12＜e ＜1，∴14＜1－m ＜1，解得0＜m ＜34，当m ＞1时，a 2＝1，b 2＝1m ，c 2＝1－1m ， e 2＝c 2a 2＝1－1m 1＝1－1m ，又12＜e ＜1，∴14＜1－1m ＜1，解得m ＞43，综上可知实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞。
5. 已知两圆C 1:(x -4)2+y 2=169，C 2:(x +4)2+y 2=9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.1486422=-y x B. 1644822=+y x C. 1644822=-y xD.1486422=+y x 答案：D 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|+|MC 2|=(13-r)+(3+r)=16，所以M 的轨迹是以C 1,C 2为焦点的椭圆，且2a=16，2c=8，故所求的轨迹方程为2x 64+2y 48=16. 椭圆12222=+b y a x (a >b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一点，ca x l 2:-=，且PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQF 1F 2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是( )A. (12,1) B. (0,12)),1) 答案：A 设点P(x 1,y 1)，由于PQ ⊥l ,故|PQ|=x 1+2a c，因为四边形PQF 1F 2为平行四边形，所以|PQ|=|F 1F 2|=2c ，即x 1+2a c =2c ，则有x 1=2c-2a c >-a ，所以2c 2+ac-a 2>0，即2e 2+e-1>0，解得e<-1或e>12，由于0<e<1，所以12<e<1，即椭圆离心率的取值范围是(12,1) 7. 已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15答案：B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7。
8. 设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1 答案：D ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，∴S △F1PF 2＝12mn ＝1 9. 已知椭圆C ：12222=+by a x (a >b>0)的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰有8个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为直角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.(0,22) B.(0,22] C.(22,1) D.[22,1) 答案：C 由题意，问题等价于椭圆上存在四个点P 使得直线PF 1与直线PF 2垂直，所以|OP|=c>b ， 即c 2>a 2-c 2，所以a<2c ，因为e=ca，0<e<1，所以22<e<1.10. 若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则→→⋅FP OP 的最大值为( ) A. 2B. 3C. 6D. 8答案：C 设椭圆上任意一点P(x 0,y 0)，则有2200x y 43+=1，即=3-34，O(0,0)，F(-1,0)，则·=x 0(x 0+1)+=14+x 0+3=14(x 0+2)2+2.因为|x 0|≤2，所以当x 0=2时，·取得最大值为611. 在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率为( )A. 34B. 37C. 38D. 318答案：C 依题意知AB ＝BC ＝2c ，AC ＝2a －2c ，在△ABC 中，由余弦定理得(2a －2c )2＝8c 2－2×4c 2×⎝⎛⎭⎫－718，故16e 2＋18e －9＝0，解得e ＝38. 12. 已知F 1，F 2分别是椭圆13422=+y x 的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M (t ,0)为一个切点，则（ ） A. t =2B. t >2C. t <2D. t 与2的大小关系不确定答案：A 如图，P ，Q 分别是圆C 与F 1A 的延长线、线段AF 2相切的切点，则|MF 2|=|F 2Q|=2a-(|F 1A|+|AQ|)=2a-|F 1P|=2a-|F 1M|，即|F 1M|+|MF 2|=2a. 所以t=a=2.13. 椭圆12222=+by a x (a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎡⎦⎤π12，π4，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A. ⎣⎡⎦⎤22，63 B. ⎣⎡⎦⎤22，32 C. ⎣⎡⎭⎫63，1 D. ⎣⎡⎭⎫22，1 答案：A 由题知AF ⊥BF ，根据椭圆的对称性，AF ′⊥BF ′(其中F ′是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF ′是矩形，于是|AB |＝|FF ′|＝2c ，|AF |＝2c sin α，根据椭圆的定义，|AF |＋|AF ′|＝2a ，∴2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，而α∈⎣⎡⎦⎤π12，π4，∴α＋π4∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈⎣⎡⎦⎤32，1，故e ∈⎣⎡⎦⎤22，6314. 直线x y 3-=与椭圆C ：12222=+by a x (a >b>0)交于A ，B 两点,以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.3B.31-C.3-1D.4-23答案：C 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，由题意可得 |OF 2|=|OA|=|OB|=|OF 1|=c ，由3得∠AOF 2=23π，∠AOF 1=3π。
所以|AF 23，|AF 1|=c. 由椭圆定义知,|AF 1|+|AF 2|=2a ，所以3，所以e=ca315. 已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为A (0，－1)，其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3，则椭圆的方程为答案： 1322=+y x 据题意可知椭圆方程是标准方程，故b ＝1.设右焦点为(c,0)(c >0)，它到已知直线的距离为|c ＋22|2＝3，解得c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝3，故椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.16. 设F 1，F 2分别是椭圆22x y 2516+=1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |=3，则P 点到椭圆左焦点的距离为答案：4 由题意知|OM|=12|PF 2|=3，所以|PF 2|=6，所以|PF 1|=2a-|PF 2|=10-6=4 17. 分别过椭圆12222=+by a x (a >b>0)的左、右焦点F 1，F 2所作的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是答案：2由已知得交点P 在以F 1F 2为直径的圆x 2+y 2=c 2上。
又点P 在椭圆内部，所以有c 2<b 2，又b 2=a 2-c 2，所以有c 2<a 2-c 2，即2c 2<a 2，亦即:22c 1,a 2<所以c 20a 2<<18. 椭圆1422=+y x 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是答案：⎝⎛⎭⎫－263，263 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )。