第12章习题答案
1.设T 是一个非平凡树，证明T 中最长基本链的起点和终点的次数为1。

证明：假设P 是T 中最长的基本链，P 的起点或终点的次数不为1，即它的次数至少是2，则至少有一个顶点，令其为u ，与P 的起点或终点邻接。

若u 在P 上，则构成圈，与T 是树矛盾，若u 不在P 上，则存在比P 更长的基本链，这与P 是T 中最长的基本链矛盾。

因此，非平凡树T 中最长基本链的起点和终点的次数必为1。

2.证明恰好有两个顶点的次数为1的树必为一基本链。

证明：假设T 是任意一个恰好有两个顶点的次数为1的树，如果T 不是一基本链，则至少有一个分支顶点的次数大于2。

设T 有n 个顶点，则T 有n-2个分支顶点，n-1条边。

根据定理9.1，T 的顶点的次数之和等于T 的边数的2倍，可知
2（n-1）>2+2（n-2）
因此得到2n-2>2n-2，矛盾。

故T 必为一基本链。

即恰好有两个顶点的次数为1的树必为一基本链。

3.一个树有n 2个顶点次敉为2，n 3个顶点次数为3，…，n k 个顶点次数为k ，问这个树有几片树叶？
解：设这个树为T ，有x 片树叶，则T 有x +n 2+n 3+…+n k -1条边。

根据定理9.1，T 的顶点的次数之和等于T 的边数的2倍，有
x +2n 2+3n 3+…+k n k =2（x +n 2+n 3+…+n k -1）
解得 x =n 3+2n 4+3n 5+…+（k-2）n k +2
即这个树有n 3+2n 4+3n 5+…+（k-2）n k +2片树叶。

7.证明在完全二元树中，弧的总数等于2(n t -1)，这里n t 是树叶的数目。

证明：设完全二元树T 有n 个顶点，m 条弧。

因为它有n t 片树叶，所以除树叶以外的顶点有n -n t 个。

由于在完全二元树中，除树叶以外的顶点的引出次数均为2，每片树叶的引出次数均为0，故所有顶点的引出次数之和为2（n -n t ），它等于弧的总数m 。

又因为1-=n m ， 故有2（n -n t ）=1-n ，解得n =2n t -1。

因此m=n-1=2(n t -1)。

11. 图12.11给出了一个有序树，试求其对应的位置二元树。

解：把该树顶点标记i u 的下标i 作为序， 利用将有序树转化为位置二元树的算法， 求得其对应的位置二元树如右图所示。

4u
3
u
5
u
7
u
0u
1u 2u
6u
8
u
9
u
10
u
14. 对于图12.13的带权图，用Kruska 算法求出它的最小生成树。

解：最小生成树T 如右图所示。

15. 图12.14给出了一个连通无向图G ，试求G 的任意一个生成树，并找出关于该生成树的基本圈组和基本割集组。

解：求得G 的生成树T 如右图所示。

基本圈有C 1=(e 1,e 5,e 6), C 2=(e 2,e 6,e 7)，
C 3=(e 3,e 7,e 8), C 4=(e 4,e 5,e 8)
T 的基本圈组为{}1234,,,C C C C 。

基本割集有{}1514,,S e e e =，{}2612,,S e e e =，{}3723,,S e e e =，{}4834,,S e e e =； T 的基本割集组为{}1234,,,S S S S
1 2
3
5
7。