1 2
=
∞ n=0
(−1)n
2 n +1
2 2 (2n +1)
=
1∞
(−1)n
∞
，所以
(−1)n
=
2 n=0 2n (2n +1)
n=0 2n (2n +1)
2 arctan 1 . 2
∑ 7.
将函数
f
(x) = ln x 展开成 x − 2 的幂级数，并运用结果求常数项级数
∞ n=1
1 n ⋅ 2n
(−1)n 的和.
n=0 2n (2n +1)
∑ ∑ 解：记
S(x)
=
∞ n=0
(−1)n x2n+1 2n +1
，则
S (0)
=
0 ， S′(x)
=
∞ n=0
(−1)n
x2n
=
1 1+ x2
，
∫ 所以 S(x) − S(0) =
x1 0 1+t2
dt
=
arctan
x
，即
S(x)
=
arctan
x
；
∑ ∑ ∑ 因为 arctan
a2
+
b2
≥
2
ab
），
∑ ∑ ∑ ∑ ∞
又 an2
n=1
∞
收敛，
1
n2
n=1
收敛，所以
∞ n=1
1 2
(an
2
+
1 n2
)
也收敛，所以
∞ n=1
an n
绝对收敛.ຫໍສະໝຸດ 4. 求下列幂级数的收敛域
∑ ∑ ∑ ∞
（1）
xn ；[−1,1) .（2） ∞ (x −1)n ；[−2, 4) （3） ∞ (x −1)2n . (1− 3,1+ 3)
∞ (−1)2n−1 n=1 n2n
=
ln
2
−
∞ n=0
1 n2n
∞
，所以
n=1
1 n ⋅ 2n
= ln 2 .
8.
将函数
f (x) =
x2
1
展开成 x + 4 的幂级数.
+ 3x + 2
解：
f
(x)
=
x2
+
1 3x
+
2
=
−
x
1 +
2
+
1 x +1
=
1 2 − (x
+
4)
−
1 3−(x +
4)
∑ ∑ 1
∞
比较判别法的极限形式，与
1
n2
n=1
比较
∑ ∑ （4）
∞ n=1
n 3n
；收敛.比值判别法（5）
∞ n=1
( 2n +1)n 3n − 2
；收敛.根式判别法
∑ ∫ ∞
（6）
1
+∞
.发散，与反常积分
1
dx 比较
n=2 n ln n
2 x ln x
2. 判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
∑ ∑ ∑ ∞
第十二章 无穷级数练习题
A
1. 判别下列级数的敛散性
∑ （1） ∞ 3n + 4n ；收敛. 运用收敛级数的性质及等比级数的特征 5n n=1
∑ ∑ ∞
（2）
n2 +1 ；发散.比较判别法的极限形式，与 ∞ 1 比较
n=1 n3 + 3n − 2
n=1 n
∑ ∑ （3）
∞ n=1
sin
1 n2
；收敛.
1− cos bn 2
bn
1−
an cos
bn
=
1 lim
an
2 n→∞ 1− cos an
+ an
=
1 2
lim
n→∞
1
−
an cos an
= +1
1， 2
an
∑ 所以级数 ∞ an 收敛.（比较判别法的极限形式）
b n=1 n
∑ 2.
− an
=
cos bn
，所以 −an
=
cos bn
− cos an
<
0
所以
0
<
an
<
bn
（余弦函数在区间
(0,
π) 2
内单调递减），
∞
∑ 因为
bn
n=1
收敛，所以
lim
n→∞
bn
=
0
，由夹逼原理知
lim
n→∞
an
=
0；
an
（2）因为 lim bn b n→∞
n
=
lim
n→∞
an bn 2
=
lim
n→∞
=
∞ n=1
xn
=
x 1− x
，
∑ 所以 S1(x)
= ( x )′ = 1− x
1 (1− x)2
，所以 S (x)
=
xS1 ( x)
=
x (1− x)2
；
∞ n=1
n 2n
=
S(1) 2
=
2.
∑ ∑ 6. 求幂级数 ∞ (−1)n x2n+1
n=0 2n +1
在区间 (−1,1)
∞
内的和函数，并运用结果求数项级数
n=0
(x + 4)n 3n+1
， x ∈ (−7, −1) ，
3
∑ ∑ ∑ 所以
∞
f (x) = (−1)n
n=0
(x + 4)n 2n+1
∞
− (−1)n
n=0
(x + 4)n 3n+1
=
∞ n=0
(−1)n
(
1 2n+1
−
1 3n+1
)(
x
+
4)
n
，
x
∈
(−6,
−2)
.
9. 设 f (x) = x (0 ≤ x ≤ π ), 将 f (x) 展开成以 2π 为周期的正弦级数.
2 − (x + 4)
=
1⋅ 2 1−
1 x+4
=
1 2
∞
(−1)n
n=0
(x + 4)n 2n
=
∞
(−1)n
n=0
(x + 4)n 2n+1
， x ∈ (−6, −2) ，
2
∑ ∑ 1
3 − (x + 4)
=
1⋅ 3 1−
1 x+4
=
1 ∞ (−1)n 3 n=0
(x + 4)n 3n
=
∞
(−1)n
n=0 2n +1
n=0 n ⋅ 3n
3n
n=0
∑ ∑ ∞
5. 求幂级数 nxn
n=1
在区间 (−1,1)
∞
内的和函数，并运用结果求数项级数
n 的和.
2n
n=1
∑ ∑ ∑ ∫ ∑ ∞
∞
∞
解：记 S (x) = nxn = x nxn−1 ， S1(x) = nxn−1 ，则
n=1
n =1
n=1
x
0 S1(t)dt
（1）
(−1)n−1 ；条件收敛（2） ∞
(−1)n−1 ；条件收敛 （3）
∞ n2 cos n .绝对收敛
n=1 2n −1
n=1 n2 + 1
3n
n=1
∑ ∑ ∞
3. 已知 an2
n=1
收敛，求证: ∞ an 绝对收敛. n=1 n
证明：因为
an n
≤
1 2
(an2
+
1 n2
)
（注：运用重要的不等式
解：将函数 f (x) = x (0 ≤ x ≤ π ) 先做奇延拓，再做周奇延拓，化为以 2π 为周期的奇函数，
∫ ∫ 所以 bn
=
2 π
π f (x) sin nxdx = 2
0
π
π x sin nxdx = 2 (−1)n+1 ，
0
n
∑ 所以
∞
f (x) = 2
(−1)n+1 sin nx ， 0 ≤ x < π ) .
n=1 n
B
∑ 1.
设数列{an}、{bn}满足 0 < an
<π 2
， 0 < bn
<
π 2
， cos an
− an
= cos bn ，且级数
∞
bn
n=1
收敛，
∑ 求证：（1）
lim
n→∞
an
= 0 ，（2）级数
∞ n=1
an bn
收敛；
证明：因为 0
<
an
<
π 2
，0
<
bn
<
π 2
， cos an
的和.
∑ 解：因为 ln(1+ x) = ∞ (−1)n−1 xn ， x ∈ (−1,1] ，
n=` n
∑ 所以 ln
x
=
ln[2 + (x −
2)]
=
ln 2 + ln(1+